Алгебра (стр. 18 из 20)

ˇ º Ł 9.3.2. ¯æºŁ V	Œ	ºŁ	Ø	æ	æ
Ł f ∈ L(V,V 0), Ł Æ	ºŁ	Ø	ª	f	º	æ	Œ -

ß Ł ºŁ Ø ß Ł æ æ Ł.

˜ Œ º æ . ´ æ º , Œ Œ Œ V Œ ºŁ Ø æ æ , Ł º Æ ª æ æ , æ æ Ł Ker f, Œ º æ Œ ß .

ˇ Ø Œ Æ Im f. ˇ æ e₁,e₂,...,e_n Æ Łæ æ æ V .

ª

. ª

.

˝ ºŁ Ø Æ º Œ , Œ ß Łæº Œ , º æ Œ Ø Ł Ł

dim L({f(e₁),...,f(e_n)}) = rang {f(e₁),...,f(e_n)}.

º º , Im f º æ Œ ß ºŁ Ø ß æ -

æ .

˛ º Ł 9.3.2. ¯æºŁ V Œ ºŁ Ø æ æ

Ł f ∈ L(V,V ⁰), ª ºŁ Ø ª f r(f) ß æ æ ª Æ , Œ ºŁ Ø ª f d_(f) ß æ æ ª .

¨ ª º Ł Ł , r(f) = dim Im f, d(f) =

= dim Ker f.

º æ Ł . r(f) = r {f(e₁),...,f(e_n)}.

º æ Ł . ¯æºŁ f ∈ _{L(V )}, ª ºŁ Ø ª f ª Ł ß ª ºŁ Ø ª æŁ º º Æ ª Æ Łæ , æ

r(f) = r(A_f).

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , ß ø æº æ Ł Ł

r(f) = r {f(e₁),...,f(e_n)}. — ææ Ł æ ßØ Ł Ł σ :

V _{→ k}ⁿ æŁ º Æ Łæ

. ª . ˇ Ł Ł Ł ª æŁæ ß Œ Ł æ ,

.

¯˛—¯	9.3.1 ( ª Ł Œ ºŁ Ø ª ). ¯æºŁ
V Œ	ºŁ Ø æ æ , dim V = n, f ∈ L(V,V 0),
æ	ª Ł Œ ºŁ Ø ª f æ Ł
æ æ	V , æ r(f) + d(f) = n.
˜ Œ º æ	. ´ Æ Ł d = d(f) = dim Ker f. ˇ æ
e1,e2,...,ed	Æ Łæ Ker f. ˜ º Ł Æ Łæ Æ Łæ æ -
æ V , º	Ł e1,e2,...,ed,ed+1,...,en Æ Łæ V . ˇ æº æ Ł Œ
º Ł	9.3.2 Ł

r(f) = r {f(e₁),f(e₂),...,f(e_d),f(e_d+1),...,f(e_n)} = r {f(e_d+1),...,f(e_n)}.

9.4. ˛Æ Ł æ ºŁ Ø ª

ˇ Œ , Œ ß f(e_d+1),...,f(e_n) º æ ºŁ Ø ŁæŁ ß-

Ł. ˇ æ

α_d+1f(e_d+1) + ... + α_nf(e_n) = 0;

f(αd+1ed+1 + ... + αnen) = 0 ⇒ αd+1ed+1 + ... + αnen ∈ Ker f.

— º Ł º Æ Łæ Ker f. ¨

αd+1ed+1 + ... + αnen = β1e1 + ... + βded;

−β1e1 − ... − βded + αd+1ed+1 + ... + αnen = 0.

Œ Œ Œ e₁,e₂,...,e_n Æ Łæ æ æ V , β₁ = ... = β_d = α_d+1 =

= ... = α_n = 0. ŒŁ Æ , Œ ß f(e_d+1),...,f(e_n) º æ ºŁ Ø ŁæŁ ß Ł. ª r(f) = r {f(e_d+1),...,f(e_n)} = n − d ⇒ ⇒ r(f) + d(f) = n − d + d = n.

9.4 ˛Æ Ł æ ºŁ Ø ª

ˇ æ V ºŁ Ø æ æ º k. — ææ Ł ºª Æ
L(V ). ´ Ø ºª Æ æ Ł Ł , º Ł Ł ß ß º æ ßØ 1V . ˝ Ł , (∀ a ∈ V ) 1V (a) = a.	-
˛ º Ł 9.4.1. ¸Ł Ø ßØ f ∈ L(V ) ß æ	Æ -
Ł ß , æºŁ Æ Ł Œ Œ º º Ł ºŁŒ Ł Ø º ª Œ º L(V ), æ (∃ f−1 ∈ L(V )) ff−1 = f−1f = 1V .	ß
¯˛—¯ 9.4.1 (Œ Ł ŁØ Æ Ł æ Ł ºŁ Ø ª	).
˜º ª , Æß ºŁ Ø ßØ f ∈ L(V ) Æߺ Æ Ł ß	Æ-
ı Ł Ł æ , Æß Œ Œ Æ Ł Æߺ ÆŁ Œ Ł	ß .
˜ ªŁ Ł æº Ł, f Æ Ł ª Ł º Œ ª , Œ ª f Ł Ł V V . ˜ Œ º æ . 1) ˝ Æı Ł æ .	Ł -

ˇ æ f ∈ _{L(V )} º æ Æ Ł ß . ˇ º Ł 9.4.1 (∃ _f⁻¹ ∈

L(V )) ff⁻¹ = f⁻¹f = 1_V . ˝ Œ , f º æ ÆŁ Œ Ł Ø.

ˇ æ f(a) = f(b). ˇ Ł Ł Œ æ Æ Ł f−1, º -

Ł f⁻¹(f(a)) = f⁻¹(f(b)) ⇒ (f⁻¹f)(a) = (f⁻¹f)(b) ⇒ 1_V (a) = 1_V (b) ⇒

⇒ a = b. ˇ æ b ∈ V . ˝ Œ , (∃ a ∈ V ) f(a) = b. ˇ æ -

Ł Œ b Œ a = f⁻¹(b). ª f(a) = f(f⁻¹(b)) =

= (ff⁻¹)(b) = 1_V (b) = b, æ f º æ ÆŁ Œ Ł Ø.

2) ˜ æ æ .

ˇ æ ∈ L(V ) Ł f º æ ÆŁ Œ Ł Ø. ª (∃ f⁻¹ : V → V ) ff⁻¹ =

= ff−1 = 1V . Æ Ł f−1 Œ º æ ÆŁ Œ Ł Ø. ˝

Œ , f−1 ∈ L(V ), æ f−1 º æº Ł ºŁ Ø-

æ Ł. ˇ æ a,b ∈ V , ª (∃ a⁰,b⁰ ∈ V ) f(a⁰) = a,f(b⁰) = b. ˛ æ f⁻¹(a) = a⁰, f⁻¹(b) = b⁰. ´ Ł º ß α,β ∈ k, æ æ Ł

f(αa⁰ + βb⁰) = αf(a⁰) + βf(b⁰) = αa + βb ⇒

⇒ f⁻¹(αa + βb) = αa⁰ + βb⁰ = αf⁻¹(a) + βf⁻¹(b).

˛ Æ Ł f⁻¹ º æº Ł ºŁ Ø æ Ł, æº º

f⁻¹ ∈ L(V ).

9.5 Œ Łæ Ł æŒŁØ		ª º		Ł ß Ł ºŁ-
Ø	ª
ˇ æ k æ	º Ł k[λ] Œ º	ª	º	Ł	æ ª λ.
˛ º Ł	9.5.1. λ- Ł Ø (	ª º	Ø	Ł	Ø)	º
k ß æ	Ł , º Ł Œ	Ø	º æ	º	ß Œ º
k[λ], æ	ª º ß λ æ Œ	Ł Ł	Ł Ł	º	k.
λ- Ł ß	挺 ß ,	,	æŒ º ß
Łº , Ł æŒ º	ß	Ł ß. ˇ æ		A =

= (α_ij), α_ij ∈ k, i,j = 1,n. ŒŁ Ł ß Æ ß æŒ º ß Ł.