Алгебра (стр. 6 из 20)

æ Œ . ˇ æ (P,Q) 6= 1, ª æ Øæ 2 P|Q. º Ł

P Ł Q, º Q|P ⇒ P ∼ Q.

¯˛—¯ 6.4.2 ( º ŁŁ Ł Ł ß Ł ºŁ).

¸ Æ Ø ª º f º Ł º Ø æ Ł º k Æß

æ º Ł f = αP₁ · P₂ · ... · P_s, ª α ∈ k^∗, P_i Ł -

ß Ł Ł ß k ª º ß. æ º Ł Ł æ

æ æ Œ æº Ł æ Ł º Ø Ł Ł Æı Ł , Æß α º º æ æ łŁ Œ Ł Ł ª º f.

˜ Œ º æ . 1) ø æ Ł .

— ææ Ł æ M æ ı Ł ßı ºŁ º Ø º Ł-

º Ø æ Ł ª º f. ´ æ M ßÆ ª º

P₁ Ł ł Ø æ Ł. ˇ Œ , ª º P₁ º æ Ł-

Ł ß . ˜ æ Ł Ł , æ ª º P₁ º æ Ł Ł-

ß . º º P₁ = du, ª 0 < degd < degP₁, Ł Ł

ßÆ ª º P₁. ¨

f = P₁f₁, ª 0 6 degf₁ < degf. (1) ¯æºŁ deg_{f1 = 0}, ææ ß º Ł Ł Ł ßı Ł º Ø Œ Ł æ . ¯æºŁ deg_{f1 > 0}, æ ª º f₁ Ł ææ Ł , Ł æ ª º f. ˇ º Ł , ª º f₁ æ Ł ßØ Ł Ł ßØ Ł º P₂. ` Ł

f₁ = P₂f₂, ª 0 6 degf₂ < degf₁. (2)

¯æºŁ deg_{f2 = 0}, ææ ß º Ł Ł Ł ßı Ł º Ø -

Œ Ł . ¯æºŁ deg_{f2 > 0}, ææ º . ¨ Œ º . ´ Ł-

Œ æ: ł ææ Œ ŁºŁ Æ æŒ ? ˙ Ł , æ Ł ª º f₁,f₂,... Æ æ ª Æß ø æº º æ

º ßı Łæ º degf > degf₁ > degf₂ > ..., Œ Æß

Æ æŒ Ø. ´ Œ Œ º Ł

f_s−1 = P_sf_s, ª degf_s = 0. (s)

, fs = α ∈ k∗. ˇ Ł º æ æ

(1),(2),...,(s), º Ł f = αP₁ ·P₂ ·...·P_s. Œ Œ ŒP_i º æ Łß Ł ª º Ł, æ Ł æ Œ Ł Ł ß Ł æ ł Ø æ Ł x, º Ł , α º æ æ łŁ Œ Ł Ł -

ª º f.

2) ¯ Ł æ æ .

ˇ æ æ æ º Ł f = αP₁ · P₂ · ... · P_s Ł æ

ª æ º Ł f = βQ₁ · Q₂ · ... · Q_t, ª β ∈ k^∗, Q_j Ł ß Ł Ł ß k ª º ß. ª , Œ ßł , β º æ æ łŁ Œ Ł Ł ª º f, æ β _{= α}.

f = αP₁ · P₂ · ... · P_s = βQ₁ · Q₂ · ... · Q_t. (∗)

— æ (∗) Œ ß , P₁|(Q₁ · Q₂ · ... · Q_t). ˇ æ Øæ 3 ß 6.4.1 (∃ 1 6 j 6 t) P₁|Q_j. ` æ Ł , P₁|Q₁. ª

æ Øæ 4 ß 6.4.1 P_{1 ∼ Q1}. Œ Œ Œ Æ ª º Ł ß, P₁ = Q₁. ª æ (∗) æ Œ ø P₁. ˇ º Ł

P₂ · ... · P_s = Q₂ · ... · Q_t. (∗∗)

ª º P₂ ææ Œ , Œ Œ æ ª º P₁. — æ

(∗∗) Œ ß , P₂|(Q₂ ·...·Q_t) ⇒ (∃ 2 6 j 6 t) P₂|Q_j. ` æ Ł , P₂|Q₂. ª P₂ ∼ Q₂ ⇒ P₂ = Q₂. ¨ Œ º . ¯æºŁ s = t,

Œ Œ º Ł P_s = Q_s. ºŁ s _{6= t}? ˇ º Ł , s < t, ª æ Œ ø æ

(∗) P₁ · P₂ · ... · P_s º Ł , 1 = Q_s+1 · ... · Q_t ª Æß

Œ Œ Œ æº æ Ł ª º º Ø æ Ł, æ ª -

º º Ł º Ø æ Ł. º ªŁ Æß Ł s > t ŒŁ

Æ Q_j æ ß P_i, º Œ Łæ ß ª Œ .

¯˛—¯ 6.4.3 ( Œ Ł æŒ æ º ŁŁ). _{¸ Æ Ø ª -}

º f º Ł º Ø æ Ł º k Æß æ º

Ł

, ª α ∈ k^∗, P_i ºŁ ß Ł ß , Ł Ł ß k ª º ß, k_i ∈ N. æ º Ł

Ł æ æ æ Œ æº Ł æ Ł º Ø Ł Ł α Æı Ł º æ æ łŁ Œ Ł Ł ª º f.

˜ Œ º æ . ˇ 6.4.2 Ł f = αP₁·P₂·...·P_s. ˛Æœ Ł

æ º ŁŁ Ł Ł Ł Œ ßı Ł º Ø æ Ł,

º Ł

.

˛ º Ł 6.4.4. ˇ æ º Ł ª º f Ł

ß æ Œ Ł æŒŁ æ º Ł ª º

f. ª º ß

ß æ º ß Ł ºŁ º Ł

ª º f. ˝ º ß Łæº k₁,k₂,...,k_t ß æ Œ æ Ł Ł Ł ßı ª º P₁,P₂,...,P_t ª º f.

ˇ æ γ _{∈ k}. ß ŁºŁ, ª º ß 1-Ø æ Ł Ł -

Ł ß º Æß º k. ´ æ æ Ł x _{− γ} º æ Ł ß

Ł Ł ß k ª º , ª Ł Œ æ Ł

ª º x − γ ª º f.

˛ º Ł 6.4.5. ˚ æ º γ _{∈ k} ª º f ßæ Œ æ Ł Ł ª ª º x − _γ ª º f.

˛ º Ł 6.4.6. º γ _{∈ k} ß æ Œ ª º

f(x), æºŁ f(γ) = 0.

ˇ º Ł 6.4.1. ˜º ª , Æß º γ ∈ k Æߺ Œ -

ª º f(x) Æı Ł Ł æ , Æß ª º f ºŁºæ x − γ, æ , Æß º γ Ł º º Ł º Œ æ

ª º f.

˜ Œ º æ . ´ æ º , ` f(x) = Q(x)(x − γ) +

+ f(γ), ª (x − γ)|f(x) ⇔ f(γ) = 0, æ º Ł 6.4.6 γ º æ Œ f(x).

º æ Ł . º γ ∈ _k º æ Œ ª º f_(x) ª Ł º Œ ª , Œ ª º γ Ł º Œ æ ª º

f(x).

˛ º Ł 6.4.7. ˚ γ ª º f_(x) ß æ æ ß , æºŁ Ł Œ æ .

ˇ æ Œ Ł æŒ æ º Ł ª º f Ł Ł

, ª degP_i > 2.

´Ł ,

deg

æ

k₁ + k₂ + ... + k_s 6 degf.

æ , (∀ 1 6 i 6 s) f(γ_i) = 0, æ γ₁,γ₂,...,γ_s º æ Œ -

Ł ª º f. ¯æºŁ Œ ßØ Œ γ_i æ Ł k_i , Łæº k₁ + k₂ + ... + k_s Łæº Œ Ø ª º f æ Łı Œ æ Ø.

ˇ º Ł 6.4.2. Łæº Œ Ø ª º f(x) æ Łı Œ -

æ Ø æı Ł æ ª º f.

6.5	ˇ	Ł	Ł Œ	æ
ˇ æ	k	Œ	ŁŒæŁ	Łæº	º .

˛ º Ł 6.5.1. ˇ Ł Ø ª ºß æ

ª º Ł

.

¯˛—¯ 6.5.1 ( æ	ß Łº Ł	Ł Ł ).
¨ æ æº øŁ æ 1. α0 = 0, ª α ∈ k; 2. (αf)0 = αf0, ª α ∈ k; 3. (f ± g)0 = f0 ± g0; 4. (fg)0 = f0g + fg0; 5. (fn)0 = nfn−1f0, n ∈ N.	Øæ :
˛ º Ł 6.5.2. ˇ º ª	f(0) = f, f(l+1) = (f(l))0, ª	l > 0, l ∈ Z.
æ , æºŁ degf = n,	(∀ l > n) f(l) = 0.
¸ 6.5.1. ¯æºŁ f ª Ł degf0 = n − 1.	º º Ł º Ø æ	Ł n, f0 6= 0

˜ Œ º æ . ¨ f = α_nxⁿ+...+α₁x+α₀, ª α_n 6= 0, n > 1. ˇ