Алгебра (стр. 3 из 20)

8. ¯æºŁ g|f Ł f 6= 0, degg 6 degf, Ł Œ æ æ Łª æ ª Ł º Œ ª , Œ ª g _{∼ f}.

9. ˛ ł Ł ºŁ æ Ł, æ ł Ł Œº ææ Ł ææ ŁŁ -

ßı ª º , æ æºŁ g|f, g₁∼ g, f₁∼ f, g₁|f₁.

˜ Œ º æ . 1) f(x) = 1 · f(x), æ f|f Ł q(x) = 1.

2) 0 = 0 · g(x), æ g|0 Ł q(x) = 0.

3) ) ˝ Æı Ł æ .

ˇ æ f ∼ g, ª f = αg, ª α ∈ k^∗, æ g|f Ł q = α. Œ Œ Œ

α 6= 0, g = α⁻¹f, æ f|g Ł q = α⁻¹.

b) ˜ æ æ .

ˇ æ g|f Ł f|g. ¨ , f = qg, g = q₁f, æº º f = q(q₁f), æ (1−qq₁)f = 0. Œ Œ Œ f 6= 0, 1−qq₁= 0, æ qq₁= 1. ˙ Ł degqq₁= 0 ⇒ degq + degq₁= 0 ⇒ degq = degq₁= 0, æº º q Ł q₁Œ æ ß. ¨ f = qg, ª q ∈ k^∗⇒ f ∼ g.

4) ¨ g = qh, f = q₁g. ª f = q₁(qh) = (q₁q)h ⇒ h|f.

5) ¨ g = qh, f = q₁h. ª ug = uqh, vf = vq₁h. — ææ Ł

ug + vf = (uq + vq₁)h ⇒ h|(ug + vf).

6) ¨ degf = 0 Ł f = qg ⇒ degf = degq + degg = 0 ⇒ degq = = degg = 0, æ q Ł g Œ æ ß.

7) Œ Œ Œ degg = 0, g ∈ k^∗, æ ø æ g⁻¹∈ k^∗. ª

f = (fg⁻¹)g ⇒ g|f.

8) ¨ f = qg ⇒ degf = degg + degq ⇒ degf > degg. ´Ł ,

Œ æ Æ ß º æ ª

= 0 ⇒ q ∈ k^∗⇔ f ∼ g.

Ł º Œ ª

, Œ ª degq =

9) ¨ f = qg, g = αq₁, f = βf₁, ª

α,β ∈ k^∗. ª

βf₁= qαg₁⇒

⇒ f₁= (β⁻¹qα)g₁⇒ g₁|f₁.

´ º Øł Æ ææ Ł Œ	æŁæ ª	º
{f₁,f₂,...,f_s}, æ Ł Œ ßı Œ Ø Ø º .	Ł ª º	ºŁ
˛ º Ł 6.3.4. ª º d ß	æ	ÆøŁ ºŁ º	æŁæ -
ß ª º {f₁,f₂,...,f_s}, æºŁ æŁæ ß, æ (∀ 1 6 i 6 s) d\|f_i.	ºŁ	æ ª º ß	Ø
¯˛—¯ 6.3.1 ( æŁº ßı	æº	Ł ı, º	øŁı
˝˛˜). ˇ æ {f₁,f₂,...,f_s} æŁæ	ª	º , æ Ł Œ	ßı
Œ Ø Ø Ł ª º ºŁ	º , Ł d Œ	ßØ
º Ø ª º (d 6= 0). — æŁº Ł :	ß æº	øŁ	-
1) æ Œ æ ºŁ º Ø ª º	d æ	æ æ Œ	æ
ÆøŁı ºŁ º Ø æŁæ ß ª º	{f₁,f₂,...,f_s};
2) ª º d º æ ÆøŁ ºŁ	º æŁæ ß ª		º

{f₁,f₂,...,f_s}, Œ ßØ ºŁ æ º Æ Ø ª Ø ÆøŁØ ºŁ º Ø æŁæ ß.

˜ Œ º æ . 1) ⇒ 2)

Œ Œ Œ æ Ł ºŁ º Ø ª º d ı Ł æ æ ª º d, æº Ł 1), d º æ ÆøŁ ºŁ º {f₁,f₂,...,f_s}.

ˇ æ d⁰º Æ Ø ÆøŁØ ºŁ º {f₁,f₂,...,f_s}, ª

æº Ł 1) d⁰æ æ Ł Ł ºŁ º Ø ª º d, æ d

ºŁ æ d⁰.

2) ⇒ 1)

´ß º Ł æº Ł 1) æ Ł ł ª . ) ˇ æ d⁰º Æ Ø ºŁ º ª º d. ¨ d⁰_|d, æº Ł

2) (∀ 1 6 i 6 s) d|f_i⇒ (∀ 1 6 i 6 s) d⁰|f_i, æ d⁰º æ ÆøŁ

ºŁ º æŁæ ß ª º {f₁,f₂,...,f_s}.

Æ) ˛Æ . ˇ æ d⁰º Æ Ø ÆøŁØ ºŁ º æŁæ ß ª º

{f₁,f₂,...,f_s}. ª æº Ł 2) ª º d ºŁ æ d⁰, æ d⁰º æ ºŁ º ª º d.

˛ º Ł 6.3.5. ˝ ŁÆ º łŁ ÆøŁ ºŁ º (˝˛˜) æŁæ ß

ª º {f₁,f₂,...,f_s}, ß æ º Æ Ø º Ø ª º d, º øŁØ º Æ Ł æŁº ßı æº ŁØ ß 6.3.1.

˛ º Ł 6.3.6. ˝˛˜ æŁæ ß ª º ß æ Œ Ø ÆøŁØ ºŁ º Ø æŁæ ß, Œ ßØ ºŁ æ º Æ Ø ª Ø ÆøŁØ ºŁ º Ø æŁæ ß ª º .

º _{æ Ł}6.3.1.1_.¯æºŁ ˝˛˜ æŁæ ß ª º æ ø æ ,

º æ æ ææ ŁŁ æ Ł.

˜ Œ º æ . ˇ æ d₁, d₂˝˛˜ æŁæ ß ª º

f₁,f₂,...,f_s, Æ ææ Ł d₁Œ Œ ˝˛˜ æŁæ ß, d₂Œ Œ ˛˜ æŁæ ß f₁,f₂,...,f_s. ª º Ł 6.3.6 d₂|d₁. ˇ º Ł d₁Ł d₂, æ d₁Æ ææ Ł Œ Œ ˛˜, d₂Œ Œ ˝˛˜

æŁæ ß f₁,f₂,...,f_s. ˇ º Ł 6.3.6 d₁|d₂, ª 3 æ Øæ ºŁ æ Ł d₁∼ d₂.

´ ŁŒ æ æ ßØ æ: æ ø æ ºŁ ˝˛˜ æŁæ ß ª º {f₁,f₂,...,f_s}? ˛ æ º Ł º ßØ. Æ Ł æ æ º º æŁæ ß Ł 2-ı ª º . ß Œ æ ø æ Ł ˝˛˜ 2-ı ª º Ł Œ ºª Ł ª ı Ł .

ºª Ł ß æ ºª Ł ¯ ŒºŁ Ł æ æº º ª º Ł . ˇ æ f Ł g º ßı ª º , degf > degg. — ºŁ f g æ æ Œ , º Ł

f = q₁g + r₁, ª r₁= 0 ŁºŁ (r₁= 06 Ł degr₁< degg).

¯æºŁ r₁_{= 0}, ææ º Ł Œ Ł æ . ¯æºŁ r₁6_{= 0}, ºŁ g r₁æ æ Œ , º Ł

g = q₂r₁+ r₂, ª r₂= 0 ŁºŁ (r₂= 06 Ł degr₂< degr₁).

¯æºŁ r₂_{= 0}, ææ º Ł Œ Ł æ . ¯æºŁ r₂6_{= 0}, ºŁ r₁r₂æ æ Œ , º Ł

r₁= q₃r₂+ r₃, ª r₃= 0 ŁºŁ (r₃= 06 Ł degr₃< degr₂).

¨ Œ º . ´ ŁŒ æ: ł ææ Œ ŁºŁ Æ æŒ ? ˙ Ł , æ Ł æ Œ Æ æ ª Æß ø æº -

º æ º ßı Łæ º, Ł degg > degr₁> degr₂> deg_r₃_{> ...}, Œ Æß Æ æŒ Ø. ´ Œ Œ º -

Ł æ

rk−2 = qkrk−1 + rk;

rk−1 = qk+1rk,

ª r_kæº ŁØ ßØ º æ Œ ºª Ł ¯ ŒºŁ .

¯˛—¯ 6.3.2. ˝ ŁÆ º łŁØ ÆøŁØ ºŁ º 2-ı º ßı ª -

º f Ł g æ ø æ Ł æº º æ Œ

ºª Ł ¯ ŒºŁ , Ł Œ ª º f Ł g.

˜ Œ º æ . ˙ Łł æ , º øŁ ºª Ł ¯ ŒºŁ

Œ ª º f Ł g

f = q₁g + r₁⇒ r₁= f − q₁g; (1) g = q₂r₁+ r₂⇒ r₂= g − q₂r₁; (2) r₁= q₃r₂+ r₃⇒ r₃= r₁− q₃r₂; (3)

...

rk−2 = qkrk−1 + rk ⇒ rk = rk−2 − qkrk−1; (k)