Алгебра (стр. 4 из 20)

rk−1 = qk+1rk. (k + 1) ¨ æº ª æ Ł , r_k|r_k−1.

¨ æ (k) Ł , r_k|r_k−2.

¨ æ (k − 1) Ł , r_k|r_k−3.

... rk|r2, rk|r1

¨ æ (2) Ł , r_k|_g.

¨ æ (1) Ł , r_k|_f.

º º r_k º æ ÆøŁ ºŁ º æŁæ ß ª º

{_f,g}. ˇ æ d º Æ Ø ÆøŁØ ºŁ º {_f,g}, ª

Ł æ (1) Ł , d|_r1, Ł æ (2) Ł , d|_r2,

...

Ł æ (k) Ł , d|r_k, æ r_k ÆøŁØ ºŁ º {_f,g}, Œ ßØ ºŁ æ º Æ Ø ª Ø

ÆøŁØ ºŁ º {_f,g}. ª º Ł 6.3.6 r_k ˝˛˜ {_f,g}.

ø æ Ł ˝˛˜ º Æ Ø Œ Ø æŁæ ß ª º æ -

ºŁ æ æº ø Ø Ø, Œ Œ ª ı -

Ł .

¯˛—¯ 6.3.3 ( Œ º ). ˝˛˜ Œ Ø æŁæ -

ß ª º æ ø æ Ł Ł æ ºŁ æ ł Ł

HOD {f₁,f₂,...,f_s−1,f_s} = HOD {HOD {f₁,f₂,...,f_s−1},f_s}.

˜ Œ º æ . ˇ Ł Ł Ł æŒ Ø Ł Œ ŁŁ s. ¯æ-

ºŁ s _{= 2}, Ł ß Ł . ˇ º Ł ,

º (_{s − 1)} ª º , æ ß º ª æ , æ ø æ ŁÆ º łŁØ ÆøŁØ ºŁ º d æŁæ ß ª º

{f₁,f₂,...,f_s−1}. ˛Æ Ł d¯ = HOD {d,f_s}. ¨ , d¯|d, d¯|f_s,

Œ ª (∀ 1 6 i 6 s − 1) d|f_i, ª Ł Ł æ Ł ºŁ-

æ Ł (∀ 1 6 i 6 s − 1) d¯|f_i, d¯|f_s, æº º d¯ º æ ÆøŁ ºŁ º {f₁,f₂,...,f_s−1,f_s}. ˇ æ d⁰ º Æ Ø ÆøŁØ ºŁ º

{f₁,f₂,...,f_s−1,f_s}, ª (∀ 1 6 i 6 s − 1) d⁰|f_i Ł d⁰|f_s æº -

º d⁰ º æ ÆøŁ ºŁ º {f₁,f₂,...,f_s−1}. ª º Ł 6.3.6 d⁰|d. ŒŁ Æ d⁰|d, d⁰|f_s æº º d⁰ º æ ÆøŁ ºŁ º {_d,fs}. ª Ł º Ł 6.3.6 æº d⁰|_d^¯.

¨ Œ d¯ º æ ÆøŁ ºŁ º {f₁,f₂,...,f_s−1,f_s} Ł d¯ ºŁ æ º Æ Ø ÆøŁØ ºŁ º {f₁,f₂,...,f_s−1,f_s}. ª º Ł 6.3.6

d^¯= HOD {f₁,f₂,...,f_s−1,f_s}.

¯˛—¯ 6.3.4 (Œ Ł ŁØ ˝˛˜ æŁæ ß ª º ).

˜º ª Æß ª º d º ºæ ˝˛˜ æŁæ ß ª º

{f₁,f₂,...,f_s} Æı Ł Ł æ , Æß ª º d Æߺ

˛˜ Ø æŁæ ß Ł Æß ºŁ Ø ß ºæ Ł ª º -

ß, æ (∃ u₁,u₂,...,u_s,∈ k[x]) d = u₁f₁ + u₂f₂ + ... + u_sf_s.

˜ Œ º æ . 1) ˜ æ æ .

ˇ æ d º æ ˛˜ {f₁,f₂,...,f_s} Ł ∃ u₁,u₂,...,u_s ∈ k[x] d =

= u₁f₁+u₂f₂+...+u_sf_s. ˇ æ d⁰ º Æ Ø ÆøŁØ ºŁ º {f₁,f₂,...,f_s}.

, (∀ ₁ 6 i 6 s_{) d}⁰|_fi. ª 5 æ Øæ ºŁ-

æ Ł d⁰|(u₁f₁ + u₂f₂ + ... + u_sf_s), æ d⁰|d. ˇ º Ł 6.3.6 d = HOD {f₁,f₂,...,f_s}.

2)˝ Æı Ł æ .

ˇ æ d º æ				˝˛˜ {f1,f2,...,fs}.	ª	d	º	æ ˛˜
{f1,f2,...,fs}. ˛æ				æ Œ , d ºŁ	Ø	ß	æ
f1,f2,...,fs. æ Ł				Œ	Ł	æŒ Ø Ł	Œ ŁŁ.
ˇ æ	s = 2. ˛Æ Ł			f1 = f,f2 = g. ˙ Łł	æ	,	º -
ø	ºª	Ł	¯ ŒºŁ	.
f = q1g + r1;	(1)
g = q2r1 + r2; ...	(2)
rk−3 = qk−1rk−2 + rk−1;	(k − 1)
rk−2 = qkrk−1 + rk;	(k)
rk−1 = qk+1rk.	(k + 1)
¨	æ	,	˝˛˜ d	ª º {f,g}	rk. ¨		æ	(k) Ł -
,

d = rk−2 − qkrk−1 = rk−2 − qk(rk−3 − qk−1rk−2) =

= (1 + q_kq_k−1)r_k−2 − q_kr_k−3 = ... = ug + vf.

ˇ º Ł , Ł ß æ ºŁ º æŁæ ß, æ æ ø Ø Ł (_{s − 1)} ª º . ˜ Œ æ ºŁ æ º æŁæ , æ æ øŁı Ł s ª º . ˇ 6.3.3 ŁÆ º łŁØ ÆøŁØ ºŁ º d æŁæ ß ª º {f₁,f₂,...,f_s} æ æ ˝˛˜

2-ı ª º {d₁,f_s}, ª d₁ ˝˛˜ {f₁,...f_s−1}. ˇ º Ł Ł Œ ŁŁ æ ø æ ª º ß v₁,...,v_s−1 ∈ k[x] ŒŁ ,

d₁ = v₁f₁ + v₂f₂ + ... + v_s−1f_s−1. Œ Œ Œ d º æ ˝˛˜ {d₁,f_s}, æ ø æ ª º ß w₁,w₂ ∈ k[x] ŒŁ , d = w₁d₁ +w₂f_s. ¨

d = w1v1f1 + ··· + w1vs−1fs−1 + w2fs = u1f1 + u2f2 + ... + usfs.

˛ º Ł 6.3.7. ª º ß æ Ł ß , æºŁ ª æ łŁØ Œ Ł Ł 1.

æ , Œ Œº ææ ææ ŁŁ ßı ª º æ ø æ

Ł ßØ ª º . ´ æ æ Ł æ Ł ˝˛˜ æŁæ ß ª º -

, Œ ß º æ æ æ ææ ŁŁ æ Ł, æ ø æ Ł æ ßØ Ł ßØ ˝˛˜. Ł ßØ ˝˛˜

Æ Æ (f₁,f₂,...,f_s).

˛ º Ł 6.3.8. Łæ ª º {f₁,f₂,...,f_s} ß æ Ł æ Ø æ Œ æ Ł, æºŁ Ł ßØ ˝˛˜

(f₁,f₂,...,f_s) = 1. ´ æº ı ª º ª , Ł Ł æ ß .

¯˛—¯ 6.3.5 (æ Øæ Ł æ ßı ª º ).

ºŁ ß æº øŁ Ł .

1. Łæ ª º {f₁,f₂,...,f_s} Ł æ æ Œ æ Ł ª Ł º Œ ª , Œ ª Œ Łı ºŁ Ø Œ ÆŁ -

Ł Ł Ł , æ (∃ u₁,...,u_s ∈ k[x]) u₁f₁+...+u_sf_s = 1;

2. ¯æºŁ

;

3. ¯æºŁ (f,h) = 1 Ł (g,h) = 1, (fg,h) = 1;

4. ¯æºŁ h|fg Ł (h,g) = 1 , h|f;

5. ¯æºŁ h|f Ł g|f Ł (h,g) = 1, hg|f.

˜ Œ º æ . 1) ˇ º Ł 6.3.4 d = 1. æ , d -

º æ ˛˜ æŁæ ß {f₁,f₂ ...,f_s}, ª 6.3.4 d = 1 Æ

˝˛˜ {f1,f2 ...,fs} ª Ł º Œ ª , Œ ª æ ø æ ª º ß

u₁,u₂,...,u_s ∈ k[x] ŒŁ , u₁f₁ + ... + u_sf_s = 1.

2) Œ Œ Œ HOD{f₁,f₂ ...,f_s} = d, 6.3.4 æ ø æ