Алгебра (стр. 13 из 20)

2. (∀ α ∈ k, a ∈ L) αa ∈ L.

º æ Ł . æ Ø Ł æ L, ææ æ æ Ł Ł ß Ł Ł Ł, Æ ºŁ Ø æ æ .

˜ Œ º æ . L ⊂ V Ł L æ Ø Ł æ , ª L ææ Ł Ł ß ŁŁ ª æº Ł Ł

ł ª Ł . ˇ Œ , (∀ a,b ∈ L) a − b ∈ L. ˜ Øæ Ł-

º , −b = −(1 · b) = (−1)b ∈ L, ª a − b = a + (−b) ∈ L. ŒŁ

Æ , (L,+) Æ Ł Ł ª ª ß (V,+). ˇ ß Ł ŒæŁ ß ºŁ Ø ª æ æ ß º æ L, æ º -

ß ß ŒæŁ ß, æ øŁ æ Œ ł Ł , ß º æ æ æ V , Æ ß º æ Ł æ Ø Ł æ L. Ł æ º , L º æ ºŁ Ø ß æ æ .

˛ º Ł 8.5.2. ¸Ł Ø ß æ æ æ æ V ß æ æ Œ ª æ Ø Ł æ L, ææ æ

æ Ł Ł ß Ł Ł Ł.

ˇ º Ł 8.5.1. ˇ æ Ł æ Øæ ºŁ Ø ßı -

æ æ ºŁ Ø ª æ æ V æ º æ æ æ æ æ V .

˜ Œ	º æ	. ´ æ	º , æ	{Li}	æ	Øæ	ºŁ	Ø ßı	-
æ	æ	æ æ	V . — ææ	Ł	æ

.

˝	Œ , L æ	Ø Ł	æ	æ	æ	V .
ˇ æ	a,b ∈ L ⇒ (∀ i)	a,b ∈ Li.	Œ Œ Œ Li	ºŁ Ø	-

æ æ ,

. º º , L

æ	Ø Ł	æŁ º	ª æº Ł .
º ªŁ	Œ ß	æ ,	(∀ α ∈ k,a ∈ L)	αa ∈ L.

º º , L æ æ æ æ V .

ˇ æ	A	æ ºŁ	Ø ª	æ æ V . — ææ	-
Ł æ ºŁ	Ø ß	æ	æ L	æ	æ	V , æ øŁ	-
æ A.	ŒŁ	æ	æ æ ø æ	,	Ł , æ æ
V . æ Ł	æ	Ł æ ı	Łı	æ	æ	L, æ

.

ˇ º	Ł	8.5.2. æ L(A)	Ł	ł	ºŁ Ø	-
æ	æ	æ æ V , æ ø	æ	A.
˜ Œ	º æ	. ˜ Øæ Ł º , Œ ,	L(A)	º æ	-

æ æ æ æ V æº Ł º Ł 8.5.1. ˜ º , æ A æ Ł æ æ ı L Œ ß ß æ Œ , æº º

A ⊂ L(A).

˝ Œ , º Æ ºŁ Ø æ æ L⁰, Œ , A ⊂ _L⁰. ª ı Ł æ æ Ł æ Œ ßı æ æ L,

æº º L(A) ⊂ L⁰.

˛ º Ł 8.5.3. ¸Ł Ø Ø Æ º Œ Ø æ A æ æ V ß æ Ł ł ºŁ Ø æ æ L_(A) æ æ V , æ ø æ A.

æ ª , æ æ L_(A) æ A ŁºŁ æ A.

ˇ º Ł 8.5.3 (æ	Ł L(A)). ¸Ł Ø	Æ º	Œ L(A) æ -
æ Ł Ł æ ºŁ	Ø ßı Œ ÆŁ ŁØ Œ	ßı	æ
æ A æ Œ Ł Ł	Ł Ł æ ª	º	k,	æ

)

Ł Ł æ α_a = 0 .

˜ Œ º æ . ´ æ º , Æ Ł :

.

˝ Æı Ł Œ , L(A) = L⁰.

Ø æ ß, Œ Œ Œ A ⊂ _L(A), L_(A) æ Ł º Æ ºŁ-

Ø Œ ÆŁ Ł Œ ª æ æ Œ A,

æ L⁰ ⊂ L(A).

ª Ø æ ß, æ , L⁰ æ Ø Ł æ æ æ V , æº º , L⁰ ºŁ Ø æ æ æ æ V .

˚ ª , æ A ⊂ L⁰ ( Œ Œ Œ a = 1 · a + 0 · a₁ + 0 · a₂ + ...).

ª º Ł 8.5.2 L(A) ⊂ L⁰.

´ Ł ª º , L(A) = L⁰.

º æ Ł 8.5.0.1. ¯æºŁ A = {a₁,a₂,...,a_s}, ª Œ ß a₁,a₂,...,a_s

º æ ºŁ Ø ŁæŁ ß Ł, L(A) Œ , dim L(A) =

= s Ł

.

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , Œ , L(A) Ł Œ ßØ

Ł æº Ł º Ł 8.5.3. ª Œ ß a₁,a₂,...,a_s Œ æ Æ Łæ L(A), æº º , dim L(A) = s.

º _{æ Ł} 8.5.0.2_. ¯æºŁ ºŁ Ø æ æ V Œ , º Æ ª ºŁ Ø æ æ L Œ º æ Œ ß Ł

dim L 6 dim V . ¯æºŁ dim L = dim V , L = V .

˜ Œ º æ . ´ æ º , æ dim V = n Ł e₁,e₂,...,e_n Æ -

Łæ V . Œ Œ Œ L æ æ ºŁ Ø ª æ æ V ,

º Æß Œ ß . ´ Ł æº , Ł Æ æŒ -

æ Ł æ æ L ß Œ º Æß Æ æŒ æ æ æ V .

ˇ æ a₁,a₂,...,a_s Æ Łæ L, æ dim L = s. Œ Œ Œ a₁,a₂,...,a_s ºŁ Ø ß æ Æ Łæ e₁,e₂,...,e_n æ æ V , æØ ºŁ Ø Ø ŁæŁ æ Ł s 6 n, æ dim L 6 dim V .

¯æºŁ dim L = dim V , æ s = n, Œ ß a₁,a₂,...,a_n

Œ æ Æ Łæ æ æ V . ´ æŁº º Ł 8.5.3 Æ

Ł

˛ º Ł 8.5.4. Ø æ Øæ ºŁ Ø ßı æ æ {_Li} æ æ V ß æ ºŁ Ø Æ º Œ æ ,

ŁŒ - æ Æœ Ł Ł Æ Łæ ßı æ Łı ºŁØ ßı æ æ , æ

.

˛ º Ł 8.5.5. Ø æ Øæ ºŁ Ø ßı æ æ {_Li} æ æ V ß æ Ł ł ºŁ Ø æ æ -

æ æ V , æ ø æ æ æ ª æ Øæ .

ˇ º Ł 8.5.4 (æ Ł æ ß). L₁ + L₂ ı ºŁ-

Ø ßı æ æ æ æ æ Œ Ł

{a₁ + a₂| a₁ ∈ L₁,a₂ ∈ L₂}.

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , º Ł 8.5.4 Ł L₁ +L₂ =

= L(L₁ ∪ L₂). ´ Æ Ł L⁰ = {a₁ + a₂| a_i ∈ L_i, i = 1,2}. ˝ Œ , L₁ + L₂ = L⁰.