Алгебра (стр. 11 из 20)

¯˛—¯ 8.3.1 ( æ Øæ ı Ł ßı ºŁ Ø ßı æ æ ). ºŁ ß æº øŁ Ł :

1. Ł Ł Ł ºŁ Ø ŁæŁ Ø æŁæ ß Œ ı

ºŁ Ø ŁæŁ ß , ºŁ Ø ŁæŁ ß æŁæ ß Œ

ı	ºŁ Ø	ŁæŁ ß ;
2. Ł	ß	ºŁ Ø ß	æ æ	ºŁÆ	Œ	-
ß , ºŁÆ	Æ æŒ	ß ;

3. Ł Ł Ł Æ Łæ æŁæ ß Œ ı Ł Æ Łæ, ª æŁæ ß Œ Ł Ł Ł Ł æ .

˜ Œ º æ . 1) ˇ æ f : V → V ⁰ º æ Ł Ł . ´ -

ºŁ Ø ŁæŁ æŁæ Œ a₁,a₂,...,a_s Ł V . , æ ø æ æŒ º ß α₁,α₂,...,α_s æ ß º ŒŁ , α₁a₁ + α₂a₂ + ... + α_sa_s = 0. ˇ Ø Œ Æ Łı Œ -

f(α₁a₁ + α₂a₂ + ... + α_sa_s) = f(0). Œ Œ Œ f Ł Ł ,

α₁f(a₁) + α₂f(a₂) + ... + α_sf(a_s) = 0, æ æ α_i = 0. ˇ æº æ ł Ł Œ ß , Œ ß f(a₁),f(a₂),...,f(a_s) º æ ºŁ Ø ŁæŁ ß Ł V ⁰.

8.3. ¨ Ł ºŁ Ø ßı æ æ ˇ æ a₁,a₂,...,a_s ºŁ Ø ŁæŁ æŁæ Œ Ł V . ˝

Œ , f(a₁),f(a₂),...,f(a_s) Œ º æ ºŁ Ø ŁæŁ-

Ø. ˜ æ Ł Ł , æ æŁæ f(a₁),f(a₂),...,f(a_s) º æ ºŁ Ø ŁæŁ Ø. ª ææ Ł Æ Ł f⁻¹ _{: V} ⁰ → _V ,

Œ Œ º æ Ł Ł . ˇ Ł Æ ŁŁ ºŁ Ø-

ŁæŁ ß Œ ß f(a₁),f(a₂),...,f(a_s) Ø ºŁ Ø ŁæŁß Œ ß a₁,a₂,...,a_s, Ł Ł ºŁ Ø Ø ŁæŁ æ Ł

a₁,a₂,...,a_s.

2) ˇ æ f _{: V} → _V ⁰ Ł V º æ Œ ß ºŁ Ø ß æ æ . , æ ø æ º Łæº N Œ ,

Łæº	Œ º Æ Ø ºŁ Ø ŁæŁ Ø æŁæ ß Ł	æ -
æ V	æı Ł ª Łæº N. Œ Œ Œ Ł Ł Ł	º Œ
ºŁ Ø	ŁæŁ æŁæ Œ ı Ł ºŁ Ø	Ł-
æŁ ,	æ æ V 0 Łæº Œ º Æ Ø ºŁ Ø	Ł-
æŁ Ø æŁæ	Œ Æ ª Ł Ł Łæº N, æº	º
æ æ	V 0 Æ Œ ß .
ˇ æ V	º æ Æ æŒ ß ºŁ Ø ß æ æ	. ˝

Œ , Ł V ⁰ æº Œ Æ Æ æŒ ß . ˜ æ Ł Ł , æ V ⁰ º æ Œ ß ºŁ Ø ß -

æ æ . ª ææ Ł Ł Ł f⁻¹ _{: V} ⁰ → _V . ˇ Ł

Ł Ł Ł Œ æ Ł V ⁰ Æ æº Œ æ

V , Ł Ł æº Ł .

3) ˇ æ A æŁæ Œ Ł V , B Æ Łæ æŁæ ß Œ A Ł

f : V → V ⁰ Ł Ł . ª , Œ Œ Œ B ⊂ A, f(B) ⊂ f(A). ˜ º ,

A ºŁ Ø ß æ B, ª f_(A) Æ ºŁ Ø ß æ f_(B). ˝ Œ , Œ Œ Œ B ºŁ Ø ŁæŁ æŁæ Œ -

, f_(B) Œ º æ ºŁ Ø ŁæŁ Ø. ŒŁ Æ , f_(B) º æ Æ Łæ f_(A), æ Æ Łæ B æŁæ ß Œ A ı Ł

Æ Łæ f_(B) æŁæ ß Œ f_(A). Œ Œ Œ f º æ ÆŁ Œ Ł Ø, Łæº Œ B Łæº Œ f(B), æ r(A) = r(f(A)).

º _{æ Ł} 8.3.1.1_. ¨ ß Œ ß ºŁ Ø ß æ æ

Ł Ł Œ æ .

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , f : V → V ⁰ Ł Ł Ł V Ł V ⁰ º æ Œ ß Ł ºŁ Ø ß Ł æ æ Ł. ª Æ Łæ

e₁,e₂,...,e_n æ æ V ı Ł Æ Łæ f(e₁),f(e₂),...,f(e_n) æ æ V ⁰, æ dim V = n = dim V ⁰.

¯˛—¯ 8.3.2. ¸ Æ Œ ºŁ Ø		æ æ V
æ Ł n Ł	Œ Ł ºŁ Ø	æ æ kn
Ł Ł Ł Ł	æ Łª æ æ ø	æ	ª Æ-
Ł f : V → kn	æŁ º º Æ ª Æ Łæ	æ	æ V .
˜ Œ º æ . ˇ æ	  e1    e2  dim V = n Ł e˜ =    ...     en	Æ	Łæ V . — ææ -
Ł æ Æ	Ł f : V → kn. ¨ æ	,	æºŁ a = aˇ>e˜,
f(a) = aˇ. ˇ Œ ,	Æ Ł f º	æ	Ł Ł .
´ - ßı, f º æ aˇ = ˇb ⇒ a = b.	Ł œ Œ Ł Ø. ˜ Øæ Ł º	, æºŁ f(a) = f(b),
´ - ßı, f º æ æ œ Œ Ł Ø. ´ æ		º , º Æ Ø

æ ºÆ aˇ ∈ kⁿ Ł æ Ł Œ a = aˇ^>e˜. ª f(a) = aˇ.

˛æ æ Œ , Æ Ł f æ ı ŁŁ. — ææ -

Ł f(a + b) = a +ˇ b = aˇ + ˇb = f(a) + f(b). f(αa) = αaˇ = αaˇ = αf(a).

ŒŁ Æ f _{: V} → _kⁿ º æ Ł Ł , æº º

V ^∼= kⁿ.

º _{æ Ł} 8.3.2.1_. ˚ ß ºŁ Ø ß æ æ Ł Œ Ø æ Ł Ł ß.

8.4. ˇ ı ª Æ Łæ Œ ª . Ł ı

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , æ æ dim V = n Ł dim V ⁰ = n . ª 8.3.2 V ^∼₌ kⁿ Ł V ^{0 ∼}₌ kⁿ, æº º -

V ^∼= V ⁰.

º æ Ł 8.3.2.2. — ª æŁæ ß Œ Œ	ª ºŁ Ø	ª
æ æ V ª æŁæ ß Œ Ł	ßı æ	ºÆ Œ
Ø æŁæ ß æŁ º º Æ ª Æ Łæ æ	æ	V .
˜ Œ º æ . ˇ æ a1,a2,...,as æŁæ	Œ	Ł V . — ææ	-
Ł f : V → kn æ ßØ Ł Ł	, ª	æŁæ Œ	-
a1,a2,...,as ı Ł aˇ1,aˇ2,...,aˇs. ˝	Ł 3	-

ß 8.3.1 r(a1,a2,...,as) = r(aˇ1,aˇ2,...,aˇs).

8.4 ˇ ı ª Æ Łæ Œ ª . Ł ı

ˇ æ V Œ ºŁ Ø æ æ k, dim V = n Ł æ

    e₁ u₁

   