Алгебра (стр. 14 из 20)

Ø æ ß, æ , L⁰ æ Ø Ł æ æ æ V , L⁰ ºŁ Ø æ æ æ æ V .

˜ º , L₁ ⊂ L⁰. ˜ Øæ Ł º , (∀ a₁ ∈ L₁) a₁ = a₁ + 0, ª 0 ∈ L₂.

º ªŁ , L₂ ⊂ L⁰, Ł (∀ a₂ ∈ L₂) a₂ = 0+a₂, ª 0 ∈ L₁. ˛ æ ,

L₁ ∪ L₂ ⊂ L⁰, æº º L(L₁ ∪ L₂) ⊂ L⁰, æ L₁ + L₂ ⊂ L⁰.

ª Ø æ ß, Ł º ßØ Œ a _{∈ L}⁰. ¯ª

æ Ł Ł a = a₁ + a₂, ª a₁ ∈ L₁, a₂ ∈ L₂. ´ Œ ß a₁,a₂ ∈

∈ L1 ∪ L2, æº	º a = a1 + a2 ∈ L(L1 ∪ L2) = L1 + L2,	æ
a ∈ L1 + L2. ¨	L0 ⊂ L1 + L2.

ŒŁ Æ , Ł ı Œº ŁØ º , L₁ + L₂ = L⁰.

˙		Ł 8.5.1. Œ , Æø	æº
 X X Ł Ł Li = ai| ai ∈ Li (i)  (i)	æ	  ai = 0 . 
˛		º Ł 8.5.6. ºŁ Ø ßı	æ	æ L1 +L2 ß -
æ		Ø, æºŁ L1 ∩ L2 = {0}.
ˇ		æ Æ æ L1 ⊕ L2.
¸	8.5.1. ¸ Æ ºŁ Ø ŁæŁ	æŁæ	Œ Œ -
ª ºŁ Ø ª æ æ V	º Ł Æ Łæ -
æ	æ	V .
˜ Œ	º æ . ˇ æ a1,a2,...,as ºŁ	Ø	ŁæŁ æŁæ
Œ	Ł V Ł e1,e2,...,en Æ Łæ æ	æ	V , dim V = n. — æ-
æ	Ł	æº ø æŁæ Œ
a1,a2,...,as,e1,e2,...,en.		(8.3)
¨	Ø æŁæ ß Œ (8.3) º			Œ ß, Œ ß ºŁ-
Ø	ß æ ß øŁ . ˇ ß s			Œ æ æ
æ	, Œ Œ Œ Ł ºŁ Ø ŁæŁ ß . ˇ º Ł
a1,a2,...,as,ei1,ei2,...,eik.			(8.4)

Łæ Œ (8.4) Æ ºŁ Ø ŁæŁ Ø, Œ Œ Œ Ł Ł Œß æ æ º ß Œ ß.

˜ º , º Æ Ø Œ a _{∈ V} , ºŁ Ø ß æ æŁæ (8.3),

Æ ºŁ Ø ß æ Ł æŁæ (8.4), Œ Œ Œ º ß Œß Ł æŁæ ß (8.3), ºŁ Ø ß æ æŁæ (8.4). ŒŁ

Æ , æŁæ Œ (8.4) Æ æ æ º Æ Łæ æ æ V .

Æ Łæ º Ł æŁæ ß a₁,a₂,...,a_s Æ º Ł Œ ßı Œ. k = n − s.

¯˛—¯ 8.5.1 ( æ Ł æ ß ı ºŁ Ø ßı æ æ ). — æ æ ß ı ºŁ Ø ßı æ æ Œ -

ª ºŁ Ø ª æ æ V æ æ Ø Łı

ºŁ Ø ßı æ æ Æ æ Ł Łı æ Ł , æ

dim (L₁ + L₂) = dim L₁ + dim L₂ − dim (L₁ ∩ L₂).

˜ Œ º æ . ˇ æ L1 Ł L2 ºŁ Ø ßı		æ		æ	-
æ	æ V . ˛Æ Ł L = L1 ∩ L2. ˇ æ	æŁæ		Œ
e1,e2,...,er	(8.5)
Æ Łæ L. ¯æºŁ L = {0}, r = 0 Ł Æ Łæ Æ	æ	æ .
ˇ	º Æ Łæ L º Ł Æ Łæ L1
e1,e2,...,er,ur+1,...,us,	(8.6)
ª	(8.6) Æ Łæ L1, dim L1 = s. º ªŁ , º Ł Æ Łæ L2	º	Æ	Łæ L
e1,e2,...,er,vr+1,...,vt,	(8.7)
ª	(8.7) Æ Łæ L2, dim L2 = t. — ææ Ł æº ø æŁæ Œ

e₁,e₂,...,e_r,u_r+1,...,u_s,v_r+1,...,v_t. (8.8)

ˇ Œ æŁæ (8.8) º æ Æ Łæ L_{1 + L2}. ˜ Øæ Ł º ,

Ł º ßØ Œ x ∈ L₁ + L₂. ª x = a + b, ª a ∈ L_{1, b} ∈ _L2. — º ª Œ a Æ Łæ (8.6), Œ b Æ Łæ (8.7) Ł

挺 ß º ß ß Ł , ß º Ł , Œ x ºŁ Ø ß æ æŁæ (8.8).

˛æ æ Œ , æŁæ Œ (8.8) º æ ºŁ Ø -

ŁæŁ Ø. — ææ Ł ºŁ Ø Œ ÆŁ Ł

α1e1 +...+αrer +βr+1ur+1 +...+βsus +γr+1vr+1 +...+γtvt = 0. (8.9)

˝ Œ , æ æŒ º ß αi,βi,γi = 0. — ææ Ł Œ

x = α₁e₁ + ... + α_re_r + β_r+1u_r+1 + ... + β_su_s. (8.10)

¨ æ (8.9) Ł , Œ

x = −γ_r+1v_r+1 − ... − γ_tv_t. (8.11)

— æ (8.10) Œ ß , Œ x _{∈ L1}, æ (8.11)

Œ ß , Œ x ∈ L₂, æº º x ∈ L₁ ∩ L₂ = L.

º º , Œ x ß Ł Æ Łæ L.

. (8.12)

Ł (8.10) Ł (8.12). ´ß Ł Œ x Æ Łæ (8.6) º

Æß Ł æ ß , ª

.

ª æ (8.9) Ł Ł Ł

α₁e₁ + ... + α_re_r + γ_r+1v_r+1 + ... + γ_tv_t = 0. (8.13)

Œ Œ Œ Æ Łæ (8.7) º æ ºŁ Ø ŁæŁ Ø æŁæ Ø Œ ,

Ł æ (8.13) æº , æ æŒ º ß α₁ = ... = α_r = γ_r+1 =

= ... = γ_t = 0.

´Ł , æŁæ Œ (8.8) º æ ºŁ Ø ŁæŁ Ø, æº º , æŁæ Œ (8.8) º æ Æ Łæ L_{1 + L2}. ª

dim (L₁ +L₂) = Łæº Œ Æ Łæ (8.8) = r+(s−r)+(t−r) = s+

+t−r = dim L₁+dim L₂−dim L = dim L₁++dim L₂−dim (L₁∩L₂).

º _{æ Ł} 8.5.1.1_. — æ Ø æ ß æ æ Ø æº ª ßı.

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , æºŁ L₁ + L₂ æ ,

º Ł L₁ ∩L₂ = {0}, dim {0} = 0. ˇ º , dim (L₁ ⊕L₂) =

= dim L₁ + dim L₂.

ˆº 9

¸Ł Ø ß ß ºŁ Ø æ æ

9.1 ˇ æ æ Ł ºª Æ ºŁ Ø ßı

ˇ æ V Ł V ⁰ ºŁ Ø ßı æ æ Ł Ł æ ß º k.