Алгебра (стр. 16 из 20)

.

˜ Œ º æ . 1) ¯ Ł æ æ .

ˇ æ æ ø æ ºŁ Ø ßØ f ∈ _L(V,V ⁰₎ Œ Ø, (∀ ₁ 6

6 i 6 n) f(e_i) = a⁰_i. ¸ Æ Ø Œ a ∈ V æ Ł Ł

. ª

.

˜ æ Ł , æ ø æ ª Ø ºŁ Ø ßØ f₁ ∈ _L(V,V ⁰₎, -

º øŁØ æº Ł

. ª

.

º º f₁ = f.

2) ø æ Ł .

ˇ æ a ∈ _V . ª

ⁿ . ˛ ºŁ Æ Ł f _{: V} → _V ⁰ æº øŁ Æ

.

ˇ Œ , Æ Ł º æº Ł ºŁ Ø æ Ł. ˜ Øæ Ł º , æ

. ª

¯ø ø Œ ß æ , f(αa) = αf(a), ª α ∈ k. ŒŁ Æ ,

Æ Ł f ∈ L(V,V ⁰). ˝ Œ , (∀ 1 6 i 6 1) f(e_i) = f(0·e₁+...+

.

º _{æ Ł} 9.2.1.1_. ¸Ł Ø ßØ Ł V _V ⁰ º æ Æ Ł Æ Łæ ßı Œ æ æ V . ß Œ Ł Œ º æ Ø æ Ł ß 9.2.1.

º æ Ł 9.2.1.2.		æ	ºŁ	Ø ßı	Ł V V 0	ı Ł -
æ Ł	æ	æ ŁŁ æ	æ	ßı
æŁæ Ł n-	Œ	æ	æ	V .
ˇ æ V	ºŁ Ø	æ	æ	º k, dim V	= n,
e1,e2,...,en	Æ Łæ	æ	æ	V . ˇ æ ,	º , f ∈ L(V ),	æº -
æ Ł Ł	ß 9.2.1,	Ł æ	ß Æ	º -
æ Æ	Ł Æ Łæ ßı	Œ	f(e1),f(e2),...,f(en) ∈ V . —		º Ł

Ł Æ ß Æ Łæ æ æ V , º Ł

f(e1) = α11e1 + α12e2 + ... + α1nen;

f(e₂) = α₂₁e₁ + α₂₂e₂ + ... + α_2ne_n; (9.1)

...

f(en) = αn1e1 + αn2e2 + ... + αnnen.

˛ º Ł 9.2.1. Ł Ø ºŁ	Ø	ª	f ∈ L(V ) -
æŁ º Æ Łæ e1,e2,...,en ß	æ	Ł	,	æ Ł Œ
Ł , æ æ º Ø Ł Œ Ł Ł Æ Łæ ßı Œ Æ Łæ.	ºŁ Ø	ª	ß Ł Æ
 > α11 α12 ... α1n    α21 α22 ... α2n  Af|ee =  ... ... ... ...     αn1 αn2 ... αnn	=	 α11   α12   ...   α1n	α21 α22 ... α2n	 ... αn1  ... αn2  . ... ...   ... αnn
˛ º Ł 9.2.2. Ł Ø ºŁ Ø		ª	f ∈ L(V ) æŁ-
º Æ Łæ e1,e2,...,en ß æ		Ł , æ	ºÆ	Ł Œ Ø º -
æ Œ Ł ß æ ºÆ ß Œ f(e1),f(e2),...,f(en) æŁ º -

Łæ e, æ

e

A_f|ee = (f^ˇ(e₁)|_ee,f^ˇ(e₂)|_ee,...,f^ˇ(e_n)|_ee).

˛ º Ł 9.2.3. ¯æºŁ Æ Ł

    e₁ f(e₁)

     e₂   f(e₂) 

e =   Ł f(e) =  , e  ...  e  ... 

    e_n f(e_n)

Ø ºŁ Ø ª f æŁ º Æ Łæ e ß æ

_e

Ł A_f, º Ł æ

f(ee) = A^>_f e._e

¯˛—¯ 9.2.2. ˇ Ł ŁŒæŁ Æ Łæ e_e ºŁ Ø ª æ æ V , dim V = n, Æ Ł σ : L(V ) → M(n,k), æ æ º ø

ºŁ Ø f ª Ł æŁ º Æ Łæ

),

º æ Ł Ł ºª Æ ß ºŁ Ø ßı L(V ) ºª Æ Œ ßı Ł n-ª Œ M(n,k).

˜ Œ º æ . ˇ e_e Œ ßØ Æ Łæ æ æ V . — ææ Ł

Æ Ł σ : L(V ) → M(n,k), σ(f) = A_f, ª A_f Ł ºŁ Ø-

ª f æŁ º Æ Łæ e_e. ˇ Œ , Æ Ł º æ Ł Ł .

1) ¨ œ Œ Ł æ σ.

ˇ æ σ(f) = σ(g), ª f,g ∈ L(V ). , A_f = A_g ⇒

. ß º ŁºŁ, Æ ß

Æ Łæ ßı º æ æ V æ . ª æº æ Ł Ł ß 9.2.1 æº , f _{= g}.

2) œ Œ Ł æ σ.

ˇ æ A ∈ M(n,k). ˇ æ Ł n Œ æ æ V Œ, Æß Œ Ł ß æ ºÆ ß Łı Œ æŁ º Æ Łæ e_e æ ºŁ æ æ ºÆ Ł Ł ß A. ª 9.2.1 æ ø æ ºŁ Ø ßØ f ∈ L(V ), øŁØ Æ Łæ e_e æ ß Ł Œ ß.

ˇ æ Ł Æ Ł

. ˛ æ Ł , æºŁ æ Ł

æ º Ł 9.2.3, A^> = A^>_f . ŒŁ Æ , σ(f) = A_f = A.

3) ı Ł ŁØ.

ˇ æ f,g ∈ L(V ) Ł A_f,A_g Ł ß Łı ºŁ Ø ßı æŁ º Æ Łæ e_e. ª

.

— ææ Ł Øæ Ł æ ß ºŁ Ø ßı f _{+ g} Æ Łæ ß

Œ ß. Ø æ ß,

.

ª Ø æ ß,

= (A_f + A_g)^>e.

˛ æ ,

. ŒŁ Æ , -

Ł æ ß ºŁ Ø ßı æ Ł Łı . º º