Алгебра (стр. 17 из 20)
σ(f + g) = Af+g = Af + Ag = σ(f) + σ(g), æ Æ Ł σ æ ı æº Ł .
— ææ Ł Øæ Ł Ł Ł ºŁ Ø ßı fg Æ Łæ ß Œ ß. Ø æ ß,
.ª Ø æ ß,
.˛ æ , A>fg = (AfAg)> ⇒ Afg = AfAg, æ Ł Ł -
Ł ºŁ Ø ßı Ł Ł Ł Łı . º º
σ(fg) = Afg = AfAg = σ(f)σ(g),
| æ | Æ | Ł σ æ ı | Ł . | |||
| ˝ Œ | , æ | æ æ | Œ | ß | æ , | Aαf = αAf ⇒ σ(αf) = |
= ασ(f), ª α ∈ k.
| ˇ º Ł | 9.2.1. ˚ | Ł ßØ æ ºÆ Æ | Œ | Ł Ø- |
| æ ŁŁ ºŁ Ø ß | Œ Ł æ | ºÆ | ª Œ- | |
| , æ | æº | Ł ª ºŁ Ø f(ˇa) = Afa.ˇ | ª | , |
| ˜ Œ º æ | . ˜ Øæ Ł | º , Œ a = aˇ>ee. | Ø æ ß, |
. ª Ø æ ß, 
. ¨ , f(ˇa)> = (Afaˇ)> ⇒ f(ˇa) = Afaˇ. ˛ º Ł 9.2.4. Ł B ß æ Æ Ø Ł A (B ∼
A) º k, æºŁ æ ø æ æ Æ Ł Q æ º Ł Ł º k Œ ,
B = Q−1AQ.
| ¨ ª ª , Ł B º | æ Ł | Ł - |
| Ł ß A æ ø Ł ß Q, ŁºŁ Ł Ł ß A æ ø Ł ß Q. | B Æ | Ł - |
| ˙ Ł 9.2.1. ¯æºŁ Ł ß B Ł A Œ ß Ł Ł Œ Ø æ Ł. | Æ ß, Ł | º ß Æß |
| ˇ º Ł 9.2.2. ˛ ł Ł ÆŁ Ł º æ Ł æ M(n,k). ˜ Œ º æ . 1) — º ŒæŁ æ . | º æ | ł Ł Œ- |
| ¨ A = E−1AE, ª A ∼ A, º Ł . 2) Ł Ł æ . | Ł ß Q Łª | Ł Ł |
| ˇ æ B ∼ A. , (∃ Q,|Q| 6= 0) B = Q−1AQ ⇒ ⇒ QBQ−1 = Q(Q−1AQ)Q−1 ⇒ QBQ−1 = A ⇒ A = (Q−1)−1BQ−1 ⇒ ⇒ A ∼ B, º Ł ß Q Łª Q−1. 3) Ł Ł æ . | ||
ˇ æ C ∼ B, B ∼ A, ª (∃ R,|R| 6= 0) C = R−1BR, Ł
(∃ Q,|Q| 6= 0) B = Q−1AQ. º º C = R−1(Q−1AQ)R = = (QR)−1A(QR) ⇒ C ∼ A, º Ł ß Q Łª QR.
| ¯˛—¯ 9.2.3. | Ł ß ª Ł ª ºŁ | Ø ª | f | ||
| ºŁ ßı Æ | Łæ ı | Æ ß. ˇ Ł Ł | Af|u º e | æ | Ł |
| Ł ß Af|e e | æ | Ł Ł Ł øŁ | Ł ß | ı | |
| Æ Łæ e Œ Æ Łæ e | u, e | æ Af|u = Q−1Af|eQ, e e | |||
| ª Q Ł | ı e Œ u. | ||||
e e
˜ Œ º æ . ˇ æ dim V = n, ee Ł ue Æ Łæ æ æ
V , f ∈ L(V ), Af|ee Ł Af|ue Ł ß f æŁ º ee Ł ue æ æ . ª
ˇ æ , Œ , Q Ł ı
Œ , æ 
.Ø æ ß,
= (Af|eQ)>ee. ª Ø æ ß,
. ŒŁ Æ , 
. | º æ | Ł 9.2.3.1. ¯æºŁ Af | Ł ºŁ Ø ª | f æŁ- |
| º | Æ Łæ ee Ł B ∼ Af, | Ł B ææ | Ł Œ Œ |
| Ł æ . | ºŁ Ø ª f | æŁ º Œ ª | ª ª Æ Ł- |
| ˜ Œ | º æ . ˜ Øæ Ł º , | Œ Œ Œ B ∼ Af, | (∃ Q,|Q| 6= |
| 6= 0) | B = Q−1AfQ. — ææ Ł | ßØ Æ Łæ ue = Q>ee. | Œ Œ Œ Q |
| æ Æ | Ł , ue Æ ß Æ Łæ . ˇ | 9.2.3 Ł | |
. | 9.3 — ª Ł | Œ ºŁ Ø ª | |||||
| ˇ æ V Ł V 0 ∈ L(V,V 0). | ºŁ Ø ßı æ | æ | º | k, | æ | f ∈ |
˛ º Ł 9.3.1. ˛Æ ºŁ Ø ª f (Im f) ß æ æ Æ æ ı º æ æ V . ºŁ Ø ª f (Ker f) ß æ æ ı Œ æ æ V , Œ ß Ł Æ ŁŁ f æ º æ æ V 0.
¨ ª º Ł Ł ,
Im f = {f(a)| a ∈ V }, Ker f = {a ∈ V | f(a) = 0}.
9.3. — ª Ł Œ ºŁ Ø ª
ˇ º Ł 9.3.1. Ł Æ ºŁ Ø ª f ∈ L(V,V 0)
º æ ºŁ Ø ß Ł æ æ Ł æ æ V Ł V 0 æ æ .
˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , (∀ α,β ∈ k,a,b ∈ Ker f) Ł
f(αa + βb) = αf(a) + βf(b) = α · 0 + β · 0 = 0 ⇒ αa + βb ∈ Ker f.
, Ker f º æ æ Ø Ł ß æ æ æ V , æº º , º æ ª ºŁ Ø ß æ æ .
ˇ æ a0,b0 ∈ Imf. , (∃ a,b ∈ V ) f(a) = a0,f(b) = b0.
ª (∀ α,β ∈ k,a0,b0 ∈ Im f) Ł
αa0 + βb0 = αf(a) + βf(b) = f(αa + βb) ∈ Im f.
˛ æ Im f º æ æ Ø Ł ß æ æ æ V 0, æº º , º æ ª ºŁ Ø ß æ æ .