9.5. Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß Ł ºŁ Ø ª
˛ º Ł 9.5.2. Œ Łæ Ł æŒ Ø Ł Ø º Œ Ø æŒ º Ø Ł ß A ß æ λ- Ł Ł λE − A, æ
λ − α11 −α12 ... −α1n α21 λ − α22 ... α2n λE − A = . ... ... ... ... −αn1 −αn2 ... λ − αnn | ||
˛ º Ł 9.5.3. Œ Łæ Ł æŒŁ ª º º | æŒ º | Ø |
Ł ß A ß æ ºŁ º , ßØ ı Œ Ł Ø º Ł ß A. | Łæ Ł | æŒ Ø |
Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß A Æ χA(λ) = |λE − A|. | æ |
˛ º Ł 9.5.4. º Œ Ø æŒ º Ø Ł ß A (Tr(A)) ß æ æ º ªº Ø Ł ª ºŁ. ˝ Ø Ł ß A
(N(A)) ß æ ºŁ º .
º Ł ,
Tr(A) = α11 + α22 + ... + αnn, N(A) = |A|.
æ , Tr(αA + βB) = αTr(A) + βTr(B); N(AB) = N(A) · N(B).
¯˛—¯ 9.5.1 ( æ ŁŁ ı Œ Łæ Ł æŒ ª ª º -
). Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º º æŒ º Ø Ł ß A º æ Ł ß ª º λ æ Ł n, Ł øŁ æº -
øŁØ Ł : χA(λ) = λn − Tr(A)λn−1 + ... + (−1)nN(A).
˜ Œ º æ . ¨ ,
ø (n! − 1) æº ª ßı.
´ æ łŁıæ (n! − 1) æº ª ßı æ æ Œ Ø Ø
º ªº Ø Ł ª ºŁ. ˇ æ łŁ æ æº ª ß ª æ λ ßł , n − 2. º ª ß æ λn Ł æ λn−1 º æ æ Ł Ł (∗). ´ Ł Ł (∗) λn ı Ł æ Œ Ł Ł 1.
˚ Ł Ł Ł λn−1 −α11−α22−...−αnn = −Tr(A). ˇ º
χA(λ) = λn − Tr(A)λn−1 + αn−2λn−2 + ... + α1λ + α0, ª α0 = χA(0) = = |0 · E − A| = | − A| = (−1)n|A| = (−1)nN(A).
˛ º Ł 9.5.5. | Œ Łæ Ł | æŒŁ Ł Œ | Ł ( Łæº Ł) | Ł- |
ß A ß æ æ | n Œ Ø ı | Œ Łæ Ł | æŒ ª ª º | , º - |
øŁ , Æø ª | , ºª Æ Ł | æŒ ßŒ | ŁŁ æ ª | º k. |
˙ Ł 9.5.1. ´ æ | æ | º k | Æø Æß | ı Œ- |
Łæ Ł æŒŁı Œ Ø, ŁºŁ Łı Æß ł , n.
ˇ Ł : k = R,
!;
. χA(λ) = 0 ⇒ λ2 + 1 = 0 ⇒ λ1 = i, λ2 = −i. ´Ł , λ1,λ2 ∈/ ∈/ R, λ1,λ2 ∈ R = C. ´ º Øł ı Œ Łæ Ł æŒŁ Œ Ł Ł ßA Æ Æ λ1,λ2,...,λn.
º æ Ł 9.5.1.1. ı Œ Łæ Ł æŒŁı Œ Ø Ł ß A
æº , Ł Ł ı Œ Łæ Ł æŒŁı Œ Ø .
˜ Œ º æ . ß Œ Ł ß 9.5.1 Ł ß ´Ł . ˜ Øæ Ł º ,
λ1 + λ2 + ... + λ+n = −(−Tr(A)) = Tr(A),
9.5. Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß Ł ºŁ Ø ª
λ1,λ2,...,λn = (−1)n · (−1)n · N(A) = N(A).
º æ Ł 9.5.1.2. ˚ Ł A æ Æ ª Ł º Œ ª , Œ ª æ ı Œ Łæ Ł æŒŁ Łæº ºŁ ß º .
˜ Œ º æ . ´ æ º , |A| 6= 0 ⇔ N(A) = 06 ⇔ λ1 ·λ2 ·...·λn 6= 0 ⇔ (∀ 1 6 i 6 n) λi 6= 0.
ˇ æ V Œ ºŁ Ø æ æ k Ł f ∈ L(V ).
ˇ æ e˜ Æ Łæ V Ł Af|e˜ Ł f æŁ º Æ Łæ e˜. Œ Œ Œ
Ł ŁæŁ Æ Łæ , Ł ı Œ Łæ Ł æŒ Ø Ł ß
º ºŁ Ø ª Ł æ .
ˇ º Ł 9.5.1. Œ Łæ Ł æŒŁ ª º ß Æ ßı Ł ß.
˜ Œ º æ . ˇ æ B ∼ A, æ (∃ Q,|Q| 6= 0) B = Q−1AQ. — ææ Ł ı Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß B. χB(λ) = |λE −
− B| = |λE − Q−1AQ| = |Q−1(λE)Q − Q−1AQ| = |Q−1(λE − A)Q| = = |Q−1||λE − A||Q| = |λE − A| = χA(λ).
º æ Ł . º ß Ł ß Æ ßı Ł ß.
º æ Ł . Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß ºŁ Ø ª -
ŁæŁ ßÆ Æ Łæ , æŁ º Œ ª æ Łº æ -
Ł , ŁæŁ º Œ æ ª ºŁ Ø ª .
˛ º Ł 9.5.6. Œ Łæ Ł æŒŁ ª º ºŁ Ø ª ß æ ı Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß ª ºŁ ت æŁ º º Æ ª Æ Łæ .
˛Æ Ł ı Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º ºŁ Ø ª f -
χf(λ). ª χf(λ) = χAf (λ).
˛ º Ł 9.5.7. º Tr(f) Ł Ø N(f) ºŁ Ø ª
f ß æ æº Ł Ł ß ª ºŁ Ø ª æŁ-
º º Æ ª Æ Łæ .
˛ º Ł 9.5.8. Œ Łæ Ł æŒŁ Ł Œ Ł ºŁ Ø ª ß æ æ Œ Ł ı Œ Łæ Ł æŒ ª ª º ª ºŁØ ª , º øŁ , Æø æº , ºª Æ Ł æŒ ßŒ ŁŁ æ ª º .
ˇ æ V ºŁ Ø æ æ º k, f ∈ L(V ). ˇ æ V 0
ºŁ Ø æ æ æ æ V . ´ Æø æº f(V 0) ⊂ V ,
Æß Œ, f(V 0) ⊂ V 0.
˛ º Ł 9.6.1. ˇ æ æ V 0 ºŁ Ø ª æ æ V ß æ Ł Ł ß æŁ º ºŁ Ø ª f ∈ L(V ),
æºŁ f(V 0) ⊂ V 0, æ º Æ Ø Œ Ł æ æ V 0 ı Ł
Œ ª æ æ .
˙ Ø æ Ł Ł ßı Ł Ł ßı æ æ . ˇ æ V 0 Ł Ł æ æ . ´ º Æ Ø
Œ a ∈ V 0,a 6= 0. Œ Œ Œ dim V 0 = 1, Œ a
Œ æ Æ Łæ V 0 Ł ª V 0 = {αa|α ∈ k}. f(a) Æ Ł º
V 0, Œ Œ Œ V 0 Ł Ł . ª f(a) = αa, a 6= 0,α ∈ k.
˛Æ , æ V 0 æ æ Ł a 6= 0, a ∈
V 0, f(a) = αa, ª α ∈ k. Œ Œ Œ V 0 æ æ , a