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Алгебра (стр. 19 из 20)

9.5. Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß Ł ºŁ Ø ª

˛ º Ł 9.5.2. Œ Łæ Ł æŒ Ø Ł Ø º Œ Ø æŒ º Ø Ł ß A ß æ λ- Ł Ł λE A, æ

  λ α11 −α12 ... α1n

 

α21 λ α22 ... α2n λE A =  . ... ... ... ...

 

αn1 −αn2 ... λ αnn

˛ º Ł 9.5.3. Œ Łæ Ł æŒŁ ª º º

æŒ º

Ø

Ł ß A ß æ ºŁ º , ßØ ı Œ

Ł Ø º Ł ß A.

Łæ Ł

æŒ Ø

Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß A Æ

χA(λ) = |λE A|.

æ

˛ º Ł 9.5.4. º Œ Ø æŒ º Ø Ł ß A (Tr(A)) ß æ æ º ªº Ø Ł ª ºŁ. ˝ Ø Ł ß A

(N(A)) ß æ ºŁ º .

º Ł ,

Tr(A) = α11 + α22 + ... + αnn, N(A) = |A|.

æ , Tr(αA + βB) = αTr(A) + βTr(B); N(AB) = N(A) · N(B).

¯˛—¯ 9.5.1 ( æ ŁŁ ı Œ Łæ Ł æŒ ª ª º -

). Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º º æŒ º Ø Ł ß A º æ Ł ß ª º λ æ Ł n, Ł øŁ æº -

øŁØ Ł : χA(λ) = λn Tr(A)λn−1 + ... + (−1)nN(A).

˜ Œ º æ . ¨ ,

ø (n! 1) æº ª ßı.

´ æ łŁıæ (n! − 1) æº ª ßı æ æ Œ Ø Ø

º ªº Ø Ł ª ºŁ. ˇ æ łŁ æ æº ª ß ª æ λ ßł , n − 2. º ª ß æ λn Ł æ λn−1 º æ æ Ł Ł (∗). ´ Ł Ł (∗) λn ı Ł æ Œ Ł Ł 1.

˚ Ł Ł Ł λn−1 α11α22...αnn = −Tr(A). ˇ º

χA(λ) = λn Tr(A)λn−1 + αn−2λn−2 + ... + α1λ + α0, ª α0 = χA(0) = = |0 · E A| = | − A| = (−1)n|A| = (−1)nN(A).

˛ º Ł 9.5.5.

Œ Łæ Ł

æŒŁ Ł Œ

Ł ( Łæº Ł)

Ł-

ß A ß æ æ

n Œ Ø ı

Œ Łæ Ł

æŒ ª ª º

, º -

øŁ , Æø ª

, ºª Æ Ł

æŒ ßŒ

ŁŁ æ ª

º k.

˙ Ł 9.5.1. ´ æ

æ

º k

Æø Æß

ı Œ-

Łæ Ł æŒŁı Œ Ø, ŁºŁ Łı Æß ł , n.

ˇ Ł : k = R,

!

;

.

χA(λ) = 0 ⇒ λ2 + 1 = 0 ⇒ λ1 = i, λ2 = −i. ´Ł , λ12 / / R, λ12 ∈ R = C. ´ º Øł ı Œ Łæ Ł æŒŁ Œ Ł Ł ß

A Æ Æ λ12,...,λn.

º æ Ł 9.5.1.1. ı Œ Łæ Ł æŒŁı Œ Ø Ł ß A

æº , Ł Ł ı Œ Łæ Ł æŒŁı Œ Ø .

˜ Œ º æ . ß Œ Ł ß 9.5.1 Ł ß ´Ł . ˜ Øæ Ł º ,

λ1 + λ2 + ... + λ+n = −(−Tr(A)) = Tr(A),

9.5. Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß Ł ºŁ Ø ª

λ12,...,λn = (−1)n · (−1)n · N(A) = N(A).

º æ Ł 9.5.1.2. ˚ Ł A æ Æ ª Ł º Œ ª , Œ ª æ ı Œ Łæ Ł æŒŁ Łæº ºŁ ß º .

˜ Œ º æ . ´ æ º , |A| 6= 0 ⇔ N(A) = 06 ⇔ λ1 ·λ2 ·...·λn 6= 0 ⇔ (∀ 1 6 i 6 n) λi 6= 0.

ˇ æ V Œ ºŁ Ø æ æ k Ł f L(V ).

ˇ æ e˜ Æ Łæ V Ł Af|e˜ Ł f æŁ º Æ Łæ e˜. Œ Œ Œ

Ł ŁæŁ Æ Łæ , Ł ı Œ Łæ Ł æŒ Ø Ł ß

º ºŁ Ø ª Ł æ .

ˇ º Ł 9.5.1. Œ Łæ Ł æŒŁ ª º ß Æ ßı Ł ß.

˜ Œ º æ . ˇ æ B A, æ (∃ Q,|Q| 6= 0) B = Q−1AQ. — ææ Ł ı Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß B. χB(λ) = |λE

B| = |λE Q−1AQ| = |Q−1(λE)Q Q−1AQ| = |Q−1(λE A)Q| = = |Q−1||λE A||Q| = |λE A| = χA(λ).

º æ Ł . º ß Ł ß Æ ßı Ł ß.

º æ Ł . Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß ºŁ Ø ª -

ŁæŁ ßÆ Æ Łæ , æŁ º Œ ª æ Łº æ -

Ł , ŁæŁ º Œ æ ª ºŁ Ø ª .

˛ º Ł 9.5.6. Œ Łæ Ł æŒŁ ª º ºŁ Ø ª ß æ ı Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß ª ºŁ ت æŁ º º Æ ª Æ Łæ .

˛Æ Ł ı Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º ºŁ Ø ª f -

χf(λ). ª χf(λ) = χAf (λ).

˛ º Ł 9.5.7. º Tr(f) Ł Ø N(f) ºŁ Ø ª

f ß æ æº Ł Ł ß ª ºŁ Ø ª æŁ-

º º Æ ª Æ Łæ .

˛ º Ł 9.5.8. Œ Łæ Ł æŒŁ Ł Œ Ł ºŁ Ø ª ß æ æ Œ Ł ı Œ Łæ Ł æŒ ª ª º ª ºŁØ ª , º øŁ , Æø æº , ºª Æ Ł æŒ ßŒ ŁŁ æ ª º .

9.6 Ææ ß Œ ß Ł æ Ææ ß Ł ºŁ Ø ª Ł Ł ß

ˇ æ V ºŁ Ø æ æ º k, f L(V ). ˇ æ V 0

ºŁ Ø æ æ æ æ V . ´ Æø æº f(V 0) V ,

Æß Œ, f(V 0) ⊂ V 0.

˛ º Ł 9.6.1. ˇ æ æ V 0 ºŁ Ø ª æ æ V ß æ Ł Ł ß æŁ º ºŁ Ø ª f L(V ),

æºŁ f(V 0) V 0, æ º Æ Ø Œ Ł æ æ V 0 ı Ł

Œ ª æ æ .

˙ Ø æ Ł Ł ßı Ł Ł ßı æ æ . ˇ æ V 0 Ł Ł æ æ . ´ º Æ Ø

Œ a V 0,a 6= 0. Œ Œ Œ dim V 0 = 1, Œ a

Œ æ Æ Łæ V 0 Ł ª V 0 = {αa|α k}. f(a) Æ Ł º

V 0, Œ Œ Œ V 0 Ł Ł . ª f(a) = αa, a 6= 0k.

˛Æ , æ V 0 æ æ Ł a 6= 0, a

V 0, f(a) = αa, ª α k. Œ Œ Œ V 0 æ æ , a