Алгебра (стр. 2 из 20)

˛Æ Ł f_{s r}, æ Ł æŒ ÆŒŁ q. ˇ º Ł r _{= fs} −

− qg ⇒ f = qg + r, æ º ŁºŁ æ 1), ª r = 0 ∨ (r 6=

6= 0 ∧ degr < degg) æº Ł 2).

II) ¯ Ł æ æ q Ł r.

˜ æ Ł , æ Ø ª º q Ł r, æ º ßı æ Ł I), æ ø æ ª ª º qŁ r, º ø

æº Ł 1) Ł 2), æ f = qg + r Ł r = 0 ∨ (r = 06 ∧ degr < degg).

¨

qg + r = qg + r ⇒ (q − q)g = r − r. (∗) ˇ Œ , q − q = 0. ˜ æ Ł Ł , æ q − q 6= 0. ˇ æ α _{6= 0} æ łŁØ Œ Ł Ł ª ª º , ª æ łŁØ Œ -

Ł Ł ª º (q−q)g Æ αβ_m 6= 0. ¯æºŁ Æß αβ_m = 0, α = 0.

˙ Ł deg(q − q)g = deg(q − q) + degg > degg.

ª Ø æ ß r − r = 0 ŁºŁ r − r 6= 0,deg(r − r) < degg. ß

º ŁºŁ, æ (_∗) æº æ Ł ª º , æ Œ ª ł deg_g, æ æ Ł º Ø ª º ŁºŁ ª º , æ Œ ª ł deg_g. Ł æ Ł Ł .

˛ º Ł 6.2.1. ´ Æ Ł ı ß 6.2.1 ª º ß q Ł r ß æ æ æ º ß æ ß Ł æ Œ º Ł

ª º f ª º g.

¯˛—¯ 6.2.2 (` ). ˛æ Œ º Ł ª º _f(x) x − γ Ł ª º f(x) Ł x = γ, æ f(γ).

˜ Œ º æ . ˇ æ f(x) = q(x)(x − γ) + r(x), r(x) = 0 ∨ (r(x) 6= 6= 0 ∧ degr(x) < 1). ˇ º r(x) = 0 ∨ degr(x) = 0, º Æ æº

r(x) = r ∈ k.

ˇ æ q(x) = β₀ +β₁x+...+β_sx^s, ª f(x) = q(x)·x−q(x)γ +r =

= β₀x + β₁x² + ... + β_sx^s+1 − β₀γ − β₁xγ − ... − β_sx^sγ + r.

æ Ł f(γ) = β₀γ+β₁γ²+...+β_sγ^s+1−β₀γ−β₁γ²−...+β_sγ^s+1+r =

= r. ŒŁ Æ , r = f(γ).

ˇ æ º Ł æ º Ł ª º f(x) (x − γ) Œ ß Ø æı ˆ .

ˇ æ f(x) = α₀xⁿ + α₁xⁿ⁻¹ + ... + α_n,α₀ 6= 0. — ºŁ f(x)

(x − γ) æ æ Œ , º Ł f(x) = q(x)(x − γ) + r. ª º q(x)

Æ ŁæŒ Ł q(x) = β₀xⁿ⁻¹ + β₁xⁿ⁻² + ... + β_n−1. ˝ ł Ø Ł Œ Ł Ł ß β₀,β₁,...,β_n−1 Ł æ Œ r.

ˇ æ Ł æ ł Ł æ q_(x) Ł f_(x) Łı Ł . ¨ ,

. ˜

ª º	ß ª Ł º Œ ª	, Œ ª ß Łı Œ Ł Ł	ß
Ł æ	æ øŁı æ ı.	Ł Œ Ł Ł ß.
xn : α0 = β0	⇒ β0 = α0;
xn−1 : α1 = β1 − β0γ	⇒ β1 = β0γ + α1;
xn−2 : α2 = β2 − β1γ ...	⇒ β2 = β1γ + α2;
x1 : αn−1 = βn−1 − βn−2γ	⇒ βn−1 = βn−2γ + αn−1;
x0 : αn = r − βn−1γ	⇒ r = βn−1γ + αn.

ŒŁ Æ Ł , Œ Ł Ł ß º ª æ ª Ł æ -

Œ ı æ æ ø Ł ßı ß Łæº ŁØ, Ł , Æß Ø-

Ł β_k = β_k−1γ+α_k. Ł ß Łæº Ł Æ Łæß Ł æº ø Ø æı ß ˆ .

α0	α1	α2	...	αn−1	αn
γ	α0	β0γ + α1	β1γ + α2	...	βn−2γ + αn−1	βn−1γ + αn
||	||	||	||	||
β0	β1	β2	...	βn−1	r = f(γ)

ˇ Ł : f(x) = x⁵ − 2x⁴ + 3x³ − 4x² + x − 1. ˝ Ø f(4).

1	−2	3	−4	1	−1
4	1	2	11	40	161	643

f(4) = 643, f(x) = (x⁴ + 2x³ + 11x² + 40x + 161)(x − 4) + 643.

6.3 ˜ ºŁ æ ª º . ˝ ŁÆ º łŁØ ÆøŁØ ºŁ º Ł Ł ł Æø Œ

˛ º Ł 6.3.1. ˆ , ª º f_(x) ºŁ æ ª -

º g(x) 6= 0 ŁºŁ, ª º g(x) ºŁ ª º f(x) ŁºŁ,

ª º g_(x) º æ ºŁ º ª º f_(x) ŁºŁ, ª º f_(x) Œ ª º g_(x), æºŁ æ ø æ Œ Ø ª º q_(x),

f(x) = q(x) · g(x).

˛ º Ł 6.3.2. ˆ , ª º f_(x) ºŁ æ ª º

g(x) 6= 0, æºŁ æ Œ º Ł f(x) g(x) º .

, ª º g(x) ºŁ f(x) Æ æ Œ Œ g|f.

˛ º Ł 6.3.3. ˜ º ßı ª º f_(x) Ł g_(x) ß æ ææ ŁŁ ß Ł f _{∼ g}, æºŁ Ł ºŁ æ ª ª Ł º ß º Ø Œ æ , æ f = αg, α ∈ k^∗ = k&bsol;{0}.

Øæ ºŁ æ Ł

1. (∀ f 6= 0) f|f.

2. (∀ g 6= 0) g|0.

3. ˜ º ßı ª º ææ ŁŁ ß ª Ł º Œ ª ,

Œ ª Ł º	ª ª , æ f ∼ g ⇔ f|g Ł g|f.
4. ¯æºŁ h|g, g|f,	h|f ( Ł Ł æ ).
5. ¯æºŁ h|g, h|f,	(∀ u,v ∈ k[x]) h|(ug + vf).
6. ˜ ºŁ º Ł	º ßı Œ æ ª Æß º Œ	º	ß Œ	-

æ ß, æ æºŁ g|f Ł degf = 0, degg = 0.

7. ˝ º Œ æ ºŁ º Ø ª º , æ æºŁ

degg = 0, (∀ f) g|f.