ˇ æ γ1,γ2,...,γn º ß º k.
˛ º Ł 6.6.4. º ß Ł æŁ Ł æŒŁ Ł ª º Ł º γ1,...,γn ß æ æ ß Ł :
σ1 = γ1 + γ2 + ... + γn;
σ2 = γ1γ2 + γ1γ3 + ... + γ1γn + γ2γ3 + ... + γ2γn + ... + γn−1γn;
...
;σn = γ1 ...γn.
ˇ º Ł 6.6.1. ¯æºŁ γ1,γ2,...,γn ∈ k,
f(x) = (x+γ1)(x+γ2)...(x+γn) = xn +σ1xn−1 +...+σkxn−k +...+σn,
ª σ1,σ2,...,σn º ß æŁ Ł æŒŁ ª º ß
γ1,γ2,...,γn.
6.6. ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß º
˜ Œ º æ . Æß æ Ł Œ , æ -
Ł æŒ ÆŒŁ æ øŁ æº Ł Ł æ Ł Æ ß æº ª ß .
º æ Ł . ¯æºŁ γ1,γ2,...,γn ∈ k, f(x) = (x − γ1)(x − γ2)...(x −
− γn) = xn − σ1xn−1 + σ2xn−2 − ... + (−1)kσkxn−k + ... + (−1)nσn,
ª σ1,σ2,...,σn º ß æŁ Ł æŒŁ ª º ß
γ1,γ2,...,γn.
˜ Œ | º æ | . ´ æ | º , æ º | ŁŁ 6.6.1 | æ | |
γi | æ | Ł | −γi. ª | σk Ł æ (−1)kσk Ł | æ ß æº | æ Ł |
Æ æ º .
¯˛—¯ 6.6.3 ( | ´Ł | ). ˇ æ | f(x) = xn + α1xn−1 + |
+ α2xn−2 + ... + αn Ł | ª | º Ł | ºª Æ Ł æŒ ß- |
Œ ŁŁ k Œ Ł γ1,γ2,...,γn. ª σk = (−1)kαk, ª σ1,σ2,...,σn
º ß æŁ Ł æŒŁ ª º ß Œ Ø γ1,γ1,...,γn.
˜ Œ º æ . ˝ º k
ª ºf(x) = (x − γ1)(x − γ2)...(x − γn),
ª γ1,γ2,...,γn Œ Ł f(x) k. ˇ æº æ Ł Ł º Ł 6.6.1
Ł :
f(x) = xn − σ1xn−1 + σ2xn−2 − ... + (−1)kσkxn−k + ... + (−1)nσn.
ª Ø æ ß, æº Ł f(x) = xn +α1xn−1 +...+αn. ŒŁ Æ -
Ł ß Ł ª Ł ª ª º Æß øŁ æ x. ª , Œ Ł Ł ß Ł Ł Œ ßı æ ı x º ß æ . ¨ −σ1 = α1, σ2 = α2,...,(−1)kσk = αk,...,(−1)nσn =
= αn. ¨ (∀ 1 6 k 6 n) (−1)kσk = αk. Ł (−1)k, º Ł
σk = (−1)kαk.
32
æ ßØ æº Ø ß 6.6.3:n=2, f(x) = x2 + px + q. ˇ æ x1, x2 Œ Ł f(x), ª
( σ1 = x1 + x2 = −p; σ2 = x1 · x2 = q.
n=3, f(x) = x3 + px2 + qx + r. ˇ æ x1, x2 x3 Œ Ł f(x), ª
σ1 = x1 + x2 + x3 = −p; σ2 = x1x2 + x1x3 + x2x3 = q; .
σ3 = x1x2x3 = −r
— ææ Ł æº Ø, Œ ª k = C. ˇ æ Ø ºª Æ ß, º
C º æ ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß , ª º ß º
C ƺ º Æß Ł æŁº ßı æº ŁØ ß 6.6.1. ´ æ æ Ł, Ł Ł ß Ł º C º æ ª º ß º Œ Ø æ Ł. ˜ º , º Æ Ø ª º º Ł º Ø æ Ł º C Ł , Œ Ø , Ł Œ . ˝ Œ , Œ Ł æŒ º Ł º Æ ª ª º f º Ł º Ø æ Ł º C Ł Ł :
f(x) = α(x − γ1)k1(x − γ2)k2 ...(x − γt)kt,
ª γ1,γ2,...,γt ∈ C.
— ææ Ł æº Ø, Œ ª k = R. ˇ æ γ = α+βi, ª α,β ∈ R, β 6=
6= 0. ´ æº ª , γ æ ø æ Œ º Œæ Łæº .
ˇ º Ł 6.7.1. ¯æºŁ γ æ ø æ Œ º Œæ Łæº ,
ª º (x−γ)(x−γ) º æ Œ ß ı º æ Øæ Łº ß Ł Œ Ł Ł Ł Ł Ł º ß ŁæŒ Ł Ł .˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , (x − γ)(x − γ¯) = x2 − (γ + ¯γ)x + γγ¯ =
= x2 −2αx+α2 +β2 ∈ R[x], ª D = (−2α)2 −4(α2 +β2) = −4β2 < 0,
Œ Œ Œ γ æ ø æ Œ º Œæ Łæº .
6.7. ª º ß Łæº ß Ł º Ł
¯˛—¯ 6.7.1. ¯æºŁ æ ø æ Œ º Œæ Łæº γ º æ
Œ ª º f æ Øæ Ł º ß Ł Œ Ł Ł Ł, Œ -
º Œæ æ Łæº γ¯ Œ º æ Œ ª ª º Ł Ł Ø Œ æ Ł, Ł Œ γ.
˜ Œ º æ . ˇ æ f(x) = αnxn + ... + α1x + α0, ª αi ∈ R Ł γ æ ø æ Œ º Œæ ßØ Œ f(x), æ f(γ) = 0.
αnγn + ... + α1γ + α0 = 0.
ˇ Ø Œ Œ º Œæ æ ß Łæº , º Ł
αnγn + ... + α1γ + α0 = 0.