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Алгебра (стр. 8 из 20)

º R. ª R ⊂ R. ˜ º , ª º x2 +1 Ł Œ R, æ i ∈ R. ß º æ ª Ł º Œ ª , Œ ª (∀ x,y ∈ R) x + +yi ∈ R, æ C ⊂ R. ¨ R ⊂ C ⊂ R. ˇ 6.6.2 C º æ ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß , ª º Ł 6.6.3 Ł C = R.

ˇ æ γ12,...,γn º ß º k.

˛ º Ł 6.6.4. º ß Ł æŁ Ł æŒŁ Ł ª º Ł º γ1,...,γn ß æ æ ß Ł :

σ1 = γ1 + γ2 + ... + γn;

σ2 = γ1γ2 + γ1γ3 + ... + γ1γn + γ2γ3 + ... + γ2γn + ... + γn−1γn;

...

;

σn = γ1 ...γn.

ˇ º Ł 6.6.1. ¯æºŁ γ12,...,γn k,

f(x) = (x+γ1)(x+γ2)...(x+γn) = xn +σ1xn−1 +...+σkxnk +...+σn,

ª σ12,...,σn º ß æŁ Ł æŒŁ ª º ß

γ12,...,γn.

6.6. ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß º

˜ Œ º æ . Æß æ Ł Œ , æ -

Ł æŒ ÆŒŁ æ øŁ æº Ł Ł æ Ł Æ ß æº ª ß .

º æ Ł . ¯æºŁ γ12,...,γn k, f(x) = (x γ1)(x γ2)...(x

γn) = xn σ1xn−1 + σ2xn−2 − ... + (−1)kσkxnk + ... + (−1)nσn,

ª σ12,...,σn º ß æŁ Ł æŒŁ ª º ß

γ12,...,γn.

˜ Œ

º æ

. ´ æ

º , æ º

ŁŁ 6.6.1

æ

γi

æ

Ł

γi. ª

σk Ł æ (−1)kσk Ł

æ ß æº

æ Ł

Æ æ º .

¯˛—¯ 6.6.3 (

´Ł

). ˇ æ

f(x) = xn + α1xn−1 +

+ α2xn−2 + ... + αn Ł

ª

º Ł

ºª Æ Ł æŒ ß-

Œ ŁŁ k Œ Ł γ12,...,γn. ª σk = (−1)kαk, ª σ12,...,σn

º ß æŁ Ł æŒŁ ª º ß Œ Ø γ11,...,γn.

˜ Œ º æ . ˝ º k

ª º

f(x) = (x γ1)(x γ2)...(x γn),

ª γ12,...,γn Œ Ł f(x) k. ˇ æº æ Ł Ł º Ł 6.6.1

Ł :

f(x) = xn σ1xn−1 + σ2xn−2 ... + (−1)kσkxnk + ... + (−1)nσn.

ª Ø æ ß, æº Ł f(x) = xn +α1xn−1 +...+αn. ŒŁ Æ -

Ł ß Ł ª Ł ª ª º Æß øŁ æ x. ª , Œ Ł Ł ß Ł Ł Œ ßı æ ı x º ß æ . ¨ −σ1 = α1, σ2 = α2,...,(−1)kσk = αk,...,(−1)nσn =

= αn. ¨ (∀ 1 6 k 6 n) (−1)kσk = αk. Ł (−1)k, º Ł

σk = (−1)kαk.

32

æ ßØ æº Ø ß 6.6.3:

n=2, f(x) = x2 + px + q. ˇ æ x1, x2 Œ Ł f(x), ª

( σ1 = x1 + x2 = −p; σ2 = x1 · x2 = q.

n=3, f(x) = x3 + px2 + qx + r. ˇ æ x1, x2 x3 Œ Ł f(x), ª

σ1 = x1 + x2 + x3 = −p; σ2 = x1x2 + x1x3 + x2x3 = q; .

 σ3 = x1x2x3 = −r

6.7 ª º ß Łæº ß Ł º Ł

— ææ Ł æº Ø, Œ ª k = C. ˇ æ Ø ºª Æ ß, º

C º æ ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß , ª º ß º

C ƺ º Æß Ł æŁº ßı æº ŁØ ß 6.6.1. ´ æ æ Ł, Ł Ł ß Ł º C º æ ª º ß º Œ Ø æ Ł. ˜ º , º Æ Ø ª º º Ł º Ø æ Ł º C Ł , Œ Ø , Ł Œ . ˝ Œ , Œ Ł æŒ º Ł º Æ ª ª º f º Ł º Ø æ Ł º C Ł Ł :

f(x) = α(x γ1)k1(x γ2)k2 ...(x γt)kt,

ª γ12,...,γt ∈ C.

— ææ Ł æº Ø, Œ ª k = R. ˇ æ γ = α+βi, ª α,β ∈ R, β 6=

6= 0. ´ æº ª , γ æ ø æ Œ º Œæ Łæº .

ˇ º Ł 6.7.1. ¯æºŁ γ æ ø æ Œ º Œæ Łæº ,

ª º (xγ)(xγ) º æ Œ ß ı º æ Øæ Łº ß Ł Œ Ł Ł Ł Ł Ł º ß ŁæŒ Ł Ł .

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , (x γ)(x γ¯) = x2 − (γ + ¯γ)x + γγ¯ =

= x2 −2αx+α2 +β2 ∈ R[x], ª D = (−2α)2 −4(α2 +β2) = −4β2 < 0,

Œ Œ Œ γ æ ø æ Œ º Œæ Łæº .

6.7. ª º ß Łæº ß Ł º Ł

¯˛—¯ 6.7.1. ¯æºŁ æ ø æ Œ º Œæ Łæº γ º æ

Œ ª º f æ Øæ Ł º ß Ł Œ Ł Ł Ł, Œ -

º Œæ æ Łæº γ¯ Œ º æ Œ ª ª º Ł Ł Ø Œ æ Ł, Ł Œ γ.

˜ Œ º æ . ˇ æ f(x) = αnxn + ... + α1x + α0, ª αi ∈ R Ł γ æ ø æ Œ º Œæ ßØ Œ f(x), æ f(γ) = 0.

αnγn + ... + α1γ + α0 = 0.

ˇ Ø Œ Œ º Œæ æ ß Łæº , º Ł

αnγn + ... + α1γ + α0 = 0.