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Алгебра (стр. 9 из 20)

´ æ º æ æ Øæ Ł Œ º Œæ æ ßı Łæ º, Ł

α¯n · γ¯n + ... + ¯α1 · γ¯ + ¯α0 = ¯0.

Œ Œ Œ αi Ł 0 ∈ R, α¯i = αi, ¯0 = 0. ˇ º

αnγ)n + ... + α1γ¯ + α0 = 0.

æ Œ ß , fγ) = 0 æ γ¯ º æ Œ

ª º f(x). ˇ Œ , Œ æ Œ γ¯ æ æ Œ æ Œ γ. ˇ æ Œ æ γ k, Œ æ γ¯ l. ˝ Æı Ł Œ , k = l. ˜ æ Ł Ł , æ k 6= l. ˇ æ ,

Ł , k > l, ª f = (x γ)k(x γ¯)lg(x), ª g(γ) 6= 0,gγ) = 06.

ª f(x) = [(x γ)(x γ¯)]l(x γ)klg(x) = [(x γ)(x γ¯)]lg1(x),

æ

. ˇ º Ł (x γ)(x γ¯) ∈ R[x],

.

´Ł , g1(x) = (x γ)klg(x) Ł γ æ Ł Œ º Ł º Ø

Œ æ Ł, k l > 0, Ł æ Ł Œ γ¯. Ł Ł

Ł Œ ß Ø Ø. º ªŁ Ł Ł Œ Ł Ł º Ł , l > k.


34

º æ Ł 6.7.1.1. ø æ Œ º Œæ ß Œ Ł ª º æ Øæ Ł º ß Ł Œ Ł Ł Ł Œ º Œæ æ ß.

¯˛—¯ 6.7.2 ( Ł Ł ßı ª º ı R). ˝ -

º Øæ Ł º ßı Łæ º R Ł Ł ß Ł º æ ª º ß

Ø æ Ł Ł Ł º Œ Œ ß ı º ß, ŁæŒ Ł ŁŒ ßı Ł º ßØ.

˜ Œ º æ . ˇ æ f(x) ∈ R[x] Ł degf(x) > 3. ª º

Ł ºª Æ Ł æŒ ßŒ ŁŁ R = C Ł Œ Ø Ł

Œ α. ¯æºŁ α ∈ R , f(x) = (x α)g(x), ª g(x) ∈ R[x] æ

ª º f Ł Ł R. ¯æºŁ α æ ø æ Œ º Œæ Łæº , α¯ Œ Æ Œ ª º f. ˇ º Ł

f(x) = (x α)(x α¯)g(x) = (x2 − 2Reα · x + |α|2)g(x).

´ æº

.

´Ł , f(x) æ Ł Ł R. ŒŁ Æ , º Æ Ø ª º f, æ Œ ª degf > 3, º æ Ł Ł ß R.

ˇ æ f = ax2+bx+c,a 6= 0. ¨ æ , Œ ßØ ı º æ æ ºŁ Ø ß Ł ºŁ f = a(xx1)(xx2) R ª Ł

º Œ ª , Œ ª ª ŁæŒ Ł Ł D > 0. ´ æº , ª º

f Ł Ł R. º º , Æ Ł Ł R ª Ł º Œ ª , Œ ª D = b2 − 4ac < 0. ª º ß Ø æ Ł º æ Ł Ł ß Ł º Æß º .

º æ Ł 6.7.2.1. ¸ Æ Ø ª º º Ł º Ø æ Ł º Øæ Ł º ßı Łæ º Ł Œ Ł æŒ æ º Ł Ł :

f = α(x γ1)k1 ...(x γt)kt(x2 + β1x + δ1)l1 ...(x2 + βrx + δr)lr,

ª α,βiij ∈ R, βi2 − 4δi < 0, kj,li ∈ N Ł i = 1,r, j = 1,t.

6.7. ª º ß Łæº ß Ł º Ł

º æ Ł 6.7.2.2. ¸ Æ Ø ª º æ Øæ Ł º ß Ł Œ Ł Ł -

Ł Ø æ Ł Ł , Œ Ø , Ł Øæ Ł º ßØ Œ .

˜ Œ º æ . ´ æ º , æº æ Ł 6.7.2.1 degf = k1 + ... + +kt+2l1+...+2lr. ˇ æº Ł æ f Łæº , æº º k1 + ... + kt Łæº , Ł (∃ 1 6 i 6 t) ki > 1, æ γi

º æ Øæ Ł º ß Œ ª º f.


ˆº 7

˛æ ß ºª Æ Ł æŒŁ æ Œ ß

36


ˆº 8

¸Ł Ø ß æ æ

8.1 ˇ Ł ºŁ Ø ª æ æ

˛ º Ł 8.1.1. ˇ æ k Ł V Ł º ßı æ . ˆ -

, æ V º ł ºª Æ Ł æŒ Ł æ æ º Ł ºŁŒ k, æºŁ Æ Ł Œ ª Ł Ł k × V V . ˇ Ł Æ ŁŁ, Æ -

ßØ ß (α,a), ª α k, a V ß æ Ł Ł α a Ł Æ æ αa.

˙ Ł 8.1.1. ºª Æ Ł æŒŁ ŁŁ, Ł ß æ V , ß æ Ł Ł ºª Æ Ł æŒŁ Ł Ł Ł. ´ Œ æ æ k ø æ ª Æ ßæ º , Œ Æ ßæ ß . º ß º k Æ Æ α,β,γ,α12,...

˛ º Ł 8.1.2. ¸Ł Ø ß ( Œ ß ) æ æ º

k ß æ æ V , ææ æ æ º Ø

Ø ºª Æ Ł æŒ Ø Ł Ø æº Ł Ł ł Ø ºª Æ Ł æŒ Ø Ł Ø Ł æŒ º ß º k, º ß Ł æº øŁ æ Ł ŒæŁ .

1. a + b = b + a;

2. a + (b + c) = (a + b) + c;

37

3. (∀ a,b V ) (∃ x V ) b + x = a;

4. α(a + b) = αa + αb;

5. (α + β)a = αa + βa;

6. (αβ)a = α(βa) = β(αa);

7. 1 · a = a,

ª a,b,c,x V ; α,β,1 ∈ k.

˙ Ł 8.1.2. æ V æ ß Æ Łæ ß æ

ºŁ Ø ª æ æ . ¯ª º ß Æ Æ a,b,c,a1,a2,...

Ł ß Œ Ł.

Øæ ºŁ Ø ßı æ æ

1. (∀ a V ) (∃ 0 ∈ V ) a + 0 = a;

2. (∀ a V ) (∃ (−a) ∈ V ) a + (−a) = 0;

3. (∀ a,b V ) (∃ (a b) ∈ V ) a b = a + (−b);

4. αa = 0 ⇔ α = 0 ŁºŁ a = 0;

5. α(−a) = (−α)a = −αa;

6. α(a b) = αa αb;

7. (α β)a = αa βa.

˜ Œ º æ . ŒæŁ ß 1 3 ºŁ Ø ª æ æ Œ ß , (V,+) Æ Ł Ł ª , æ ºŁ ß æ Øæ 1) 3).

4) ˝ Æı Ł æ .

¨ αa = (α + 0)a = αa + 0a ⇒ 0a = αa αa = 0. ˇ º ,

0a = 0.

8.2. ` Łæ ºŁ Ø ª æ æ

¨ αa = α(a + 0) = αa + α0 ⇒ α0 = αa αa = 0. ˇ º ,

α0 = 0.

˜ æ æ .

ˇ æ αa = 0. ¯æºŁ α = 0, æ Œ . ¯æºŁ α 6= 0 Æ æ ø -

æ α−1 k. ª a = 1 · a = (α−1α)a = α−1(αa) = α−1 · 0 = 0.

5) — æ Ł αa + α(−a) = α(a + (−a)) = α · 0 = 0 ⇒ α(−a) = −αa.

˜ º , αa + (−α)a = (α + (−α))a = 0 · a = 0 ⇒ (−α)a = −αa.

6) ¨ , α(a b) = α(a + (−b)) = αa + α(−b) = αa αb.

7) ˇ æ Ł (α β)a = (α + (−β))a = αa + (−β)a = αa βa.

ˇ Ł ß ºŁ Ø ßı æ æ :

1. V = {0} º ºŁ Ø

æ

æ ( Ł Ł º

).

2. V = kn = {(α1,...,αn)|αi k} æ º k. Œ

Ł ºŁ Ø

æ -

3. V = M(m×n,k) Ł ß

æ Ł m×n æ º

Ł Ł k.

4. V = L æ ł ŁØ

ŁØ.

Ø æŁæ ß ºŁ

Ø ßı -

5. V = k[x] æ ª º Ł Ł Ł Ł k.

6. V = {f(x) ∈ k[x]|deg f 6 n}.

ª Ł æ

ª æ Œ -

8.2 ˚ ß Ł Æ æŒ

ß

ºŁ Ø ß

æ æ . ` Łæ ºŁ

Ø ª æ

æ

¸ ªŒ Ł , æ ß Ł

Ł Œ ß, º

ß Œ -

Ł ºŁ Ø æ æ

æ æ Ææ Œ

ß ºŁ Ø ß

æ æ . æ , Ł Ł Ł Œ ß Łæ º ºŁ