´ æ º æ æ Øæ Ł Œ º Œæ æ ßı Łæ º, Ł
α¯n · γ¯n + ... + ¯α1 · γ¯ + ¯α0 = ¯0.
Œ Œ Œ αi Ł 0 ∈ R, α¯i = αi, ¯0 = 0. ˇ º
αn(¯γ)n + ... + α1γ¯ + α0 = 0.
æ Œ ß , f(¯γ) = 0 æ γ¯ º æ Œ
ª º f(x). ˇ Œ , Œ æ Œ γ¯ æ æ Œ æ Œ γ. ˇ æ Œ æ γ k, Œ æ γ¯ l. ˝ Æı Ł Œ , k = l. ˜ æ Ł Ł , æ k 6= l. ˇ æ ,
Ł , k > l, ª f = (x − γ)k(x − γ¯)lg(x), ª g(γ) 6= 0,g(¯γ) = 06.
ª f(x) = [(x − γ)(x − γ¯)]l(x − γ)k−lg(x) = [(x − γ)(x − γ¯)]lg1(x),
æ
. ˇ º Ł (x − γ)(x − γ¯) ∈ R[x], .´Ł , g1(x) = (x − γ)k−lg(x) Ł γ æ Ł Œ º Ł º Ø
Œ æ Ł, k − l > 0, Ł æ Ł Œ γ¯. Ł Ł
Ł Œ ß Ø Ø. º ªŁ Ł Ł Œ Ł Ł º Ł , l > k.
34
º æ Ł 6.7.1.1. ø æ Œ º Œæ ß Œ Ł ª º æ Øæ Ł º ß Ł Œ Ł Ł Ł Œ º Œæ æ ß.
¯˛—¯ 6.7.2 ( Ł Ł ßı ª º ı R). ˝ -
º Øæ Ł º ßı Łæ º R Ł Ł ß Ł º æ ª º ß
Ø æ Ł Ł Ł º Œ Œ ß ı º ß, ŁæŒ Ł ŁŒ ßı Ł º ßØ.
˜ Œ º æ . ˇ æ f(x) ∈ R[x] Ł degf(x) > 3. ª º
Ł ºª Æ Ł æŒ ßŒ ŁŁ R = C Ł Œ Ø ŁŒ α. ¯æºŁ α ∈ R , f(x) = (x − α)g(x), ª g(x) ∈ R[x] æ
ª º f Ł Ł R. ¯æºŁ α æ ø æ Œ º Œæ Łæº , α¯ Œ Æ Œ ª º f. ˇ º Ł
f(x) = (x − α)(x − α¯)g(x) = (x2 − 2Reα · x + |α|2)g(x).
´ æº
.´Ł , f(x) æ Ł Ł R. ŒŁ Æ , º Æ Ø ª º f, æ Œ ª degf > 3, º æ Ł Ł ß R.
ˇ æ f = ax2+bx+c,a 6= 0. ¨ æ , Œ ßØ ı º æ æ ºŁ Ø ß Ł ºŁ f = a(x−x1)(x−x2) R ª Ł
º Œ ª , Œ ª ª ŁæŒ Ł Ł D > 0. ´ æº , ª º
f Ł Ł R. º º , Æ Ł Ł R ª Ł º Œ ª , Œ ª D = b2 − 4ac < 0. ª º ß Ø æ Ł º æ Ł Ł ß Ł º Æß º .
º æ Ł 6.7.2.1. ¸ Æ Ø ª º º Ł º Ø æ Ł º Øæ Ł º ßı Łæ º Ł Œ Ł æŒ æ º Ł Ł :
f = α(x − γ1)k1 ...(x − γt)kt(x2 + β1x + δ1)l1 ...(x2 + βrx + δr)lr,
ª α,βi,δi,γj ∈ R, βi2 − 4δi < 0, kj,li ∈ N Ł i = 1,r, j = 1,t.6.7. ª º ß Łæº ß Ł º Ł
º æ Ł 6.7.2.2. ¸ Æ Ø ª º æ Øæ Ł º ß Ł Œ Ł Ł -
Ł Ø æ Ł Ł , Œ Ø , Ł Øæ Ł º ßØ Œ .
˜ Œ º æ . ´ æ º , æº æ Ł 6.7.2.1 degf = k1 + ... + +kt+2l1+...+2lr. ˇ æº Ł æ f Łæº , æº º k1 + ... + kt Łæº , Ł (∃ 1 6 i 6 t) ki > 1, æ γi
º æ Øæ Ł º ß Œ ª º f.
ˆº 7
˛æ ß ºª Æ Ł æŒŁ æ Œ ß
36
ˆº 8
¸Ł Ø ß æ æ
˛ º Ł 8.1.1. ˇ æ k Ł V Ł º ßı æ . ˆ -
, æ V º ł ºª Æ Ł æŒ Ł æ æ º Ł ºŁŒ k, æºŁ Æ Ł Œ ª Ł Ł k × V → V . ˇ Ł Æ ŁŁ, Æ -
ßØ ß (α,a), ª α ∈ k, a ∈ V ß æ Ł Ł α a Ł Æ æ αa.
˙ Ł 8.1.1. ºª Æ Ł æŒŁ ŁŁ, Ł ß æ V , ß æ Ł Ł ºª Æ Ł æŒŁ Ł Ł Ł. ´ Œ æ æ k ø æ ª Æ ßæ º , Œ Æ ßæ ß . º ß º k Æ Æ α,β,γ,α1,α2,...
˛ º Ł 8.1.2. ¸Ł Ø ß ( Œ ß ) æ æ º
k ß æ æ V , ææ æ æ º Ø
Ø ºª Æ Ł æŒ Ø Ł Ø æº Ł Ł ł Ø ºª Æ Ł æŒ Ø Ł Ø Ł æŒ º ß º k, º ß Ł æº øŁ æ Ł ŒæŁ .
1. a + b = b + a;
2. a + (b + c) = (a + b) + c;
37
3. (∀ a,b ∈ V ) (∃ x ∈ V ) b + x = a;
4. α(a + b) = αa + αb;
5. (α + β)a = αa + βa;
6. (αβ)a = α(βa) = β(αa);
7. 1 · a = a,
ª a,b,c,x ∈ V ; α,β,1 ∈ k.
˙ Ł 8.1.2. æ V æ ß Æ Łæ ß æ
ºŁ Ø ª æ æ . ¯ª º ß Æ Æ a,b,c,a1,a2,...
Ł ß Œ Ł.
Øæ ºŁ Ø ßı æ æ
1. (∀ a ∈ V ) (∃ 0 ∈ V ) a + 0 = a;
2. (∀ a ∈ V ) (∃ (−a) ∈ V ) a + (−a) = 0;
3. (∀ a,b ∈ V ) (∃ (a − b) ∈ V ) a − b = a + (−b);
4. αa = 0 ⇔ α = 0 ŁºŁ a = 0;
5. α(−a) = (−α)a = −αa;
6. α(a − b) = αa − αb;
7. (α − β)a = αa − βa.
˜ Œ º æ . ŒæŁ ß 1 3 ºŁ Ø ª æ æ Œ ß , (V,+) Æ Ł Ł ª , æ ºŁ ß æ Øæ 1) 3).
4) ˝ Æı Ł æ .
¨ αa = (α + 0)a = αa + 0a ⇒ 0a = αa − αa = 0. ˇ º ,
0a = 0.
8.2. ` Łæ ºŁ Ø ª æ æ
¨ αa = α(a + 0) = αa + α0 ⇒ α0 = αa − αa = 0. ˇ º ,
α0 = 0.
˜ æ æ .
ˇ æ αa = 0. ¯æºŁ α = 0, æ Œ . ¯æºŁ α 6= 0 Æ æ ø -
æ α−1 ∈ k. ª a = 1 · a = (α−1α)a = α−1(αa) = α−1 · 0 = 0.
5) — æ Ł αa + α(−a) = α(a + (−a)) = α · 0 = 0 ⇒ α(−a) = −αa.
˜ º , αa + (−α)a = (α + (−α))a = 0 · a = 0 ⇒ (−α)a = −αa.
6) ¨ , α(a − b) = α(a + (−b)) = αa + α(−b) = αa − αb.
7) ˇ æ Ł (α − β)a = (α + (−β))a = αa + (−β)a = αa − βa.
ˇ Ł ß ºŁ Ø ßı æ æ : | |||
1. V = {0} º ºŁ Ø | æ | æ ( Ł Ł º | ). |
2. V = kn = {(α1,...,αn)|αi ∈ k} æ º k. | Œ | Ł ºŁ Ø | æ - |
3. V = M(m×n,k) Ł ß | æ Ł m×n æ º | Ł Ł k. | |
4. V = L æ ł ŁØ ŁØ. | Ø æŁæ ß ºŁ | Ø ßı - | |
5. V = k[x] æ ª º Ł Ł Ł Ł k. 6. V = {f(x) ∈ k[x]|deg f 6 n}. | ª Ł æ | ª æ Œ - | |
8.2 ˚ ß Ł Æ æŒ | ß | ºŁ Ø ß | |
æ æ . ` Łæ ºŁ | Ø ª æ | æ | |
¸ ªŒ Ł , æ ß Ł | Ł Œ ß, º | ß Œ - | |
Ł ºŁ Ø æ æ | æ æ Ææ Œ | ß ºŁ Ø ß |
æ æ . æ , Ł Ł Ł Œ ß Łæ º ºŁ