Алгебра (стр. 1 из 20)

˛˜¯—˘ ˝¨¯

6 ª º ß 3

6.1 ˚ º ª º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

6.2 º ŁŁ æ æ Œ . ` . ı ˆ 6

6.3 ˜ ºŁ æ ª º . ˝˛˜ Ł ˝˛˚ . . . . . . . . . . . . 9

6.4 ˝ Ł Ł æ . ˚ Ł æŒ º Ł . ˚ æ . . 20

6.5 ˇ Ł Ł Œ æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6.6 ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß º . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.7 ª º ß Łæº ß Ł º Ł . . . . . . . . . . . . . 32

7 ˛æ ß ºª Æ Ł æŒŁ æ Œ ß 36

8 ¸Ł Ø ß æ æ 37

8.1 ˇ Ł ºŁ Ø ª æ æ . . . . . . . . . . . . . . . 37

8.2 ` Łæ ºŁ Ø ª æ æ . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8.3 ¨ Ł ºŁ Ø ßı æ æ . . . . . . . . . . . . . 43

8.4 ˇ ı ª Æ Łæ Œ ª . Ł ı . . 47

8.5 ¸Ł Ø ß æ æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9 ¸Ł Ø ß ß ºŁ Ø æ æ 58

9.1 ˇ æ æ Ł ºª Æ ºŁ Ø ßı . . . . . . . 58

9.2 Ł ºŁ Ø ª Œ ºŁ Ø

æ æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

9.3 — ª Ł Œ ºŁ Ø ª . . . . . . . . . . . . . 68

9.4 ˛Æ Ł æ ºŁ Ø ª . . . . . . . . . . . . . . 71

1

2 ˛˜¯—˘ ˝¨¯

9.5 Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß Ł ºŁ Ø ª -

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.6 Ææ ß Œ ß Ł æ Ææ ß Ł ºŁ Ø ª

Ł Ł ß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

ˆº 6

ª º ß

6.1 ˚ º ª º

ˇ æ k Œ ŁŒæŁ º .

˛ º Ł 6.1.1. ª º Ł æ ª x Œ º k ß æ º ß Ł Ł

,

ª x æŁ º Ł æ ª , α_i º ß º k, Ł æ ß

0, æ (∃ n ∈ N) (∀ i > n) α_i = 0.

´ º Øł ª º ß Æ Æ f(x), g(x), h(x), f₁(x), f₂(x),...ŁºŁ Œ f, g, h, f₁, f₂,...

(6.1)

¯æºŁ ª º (6.1), ª º Æ ß º ß Ł Æ 0.

˛ º Ł 6.1.2. º ª ß α_ixⁱ Æ ß º Ł ª -

º (6.1), º ß α_i Æ ß Œ Ł Ł Ł ª º

(6.1).

3

¯æºŁ ª º (6.1) ∀ i > n α_i = 0, Æ Łæ :

ŁºŁ f(x) = α₀ + α₁x + ··· + α_nxⁿ. (6.2)

i=0

˙ æ Ł ı ŁæŁ (6.1) Œ ŁæŁ (6.2) ß Łł α₀ æ α₀x⁰. ˇ Ł α₀ ß æ æ Æ ß º ª º f(x).

˛ º Ł 6.1.3. º ª ª º f_(x) ß æ ŁÆ º łŁØ ºŁ ª º Œ Ł Ł ª ª º .

˛Æ Ł degf(x) æ ª º f(x).

¯æºŁ ŁæŁ (6.2) α_n 6= 0, æ ª º f(x) n, æ degf(x) = n. ´ æº , α_nxⁿ ß æ æ łŁ º

ª º , α_n ß æ æ łŁ Œ Ł Ł ª º .

æ æ ı ª º Ł æ ª x º k Æ -

æ k_[x] Ł ß æ Œ º ª º º k.

ˇ æ

.

˛ º Ł 6.1.4. ˜ ª º f(x),g(x) ∈ k[x] ß æ ß Ł, æºŁ ß æ Łı Œ Ł Ł ß Ł Ł Œ ßı æ ı x,

æ (∀ 0 6 i < ∞) α_i = β_i.

´ æ k_[x] ŁŁ: æº Ł Ł Ł -

ª º .

˛ º Ł 6.1.5. Ø ı ª º f Ł g ß æ -

ª º

.

ˇ Ł Ł ı ª º f Ł g ß æ ª º

, ª γi = X ανβµ.

νν,µ+µ>=0i

6.1. ˚ º ª º

˙ _Ł 6.1.1_. º º Ł , º ª , Æß

Ł ª º , æ Œ ßØ º ª ª º Ł Œ ßØ º ª ª º Ł Ł æ Ł Æß º ß.

˛ º Ł 6.1.5 Œ Œ æ ßæº , f _{+ g} Ł f _{· g} Øæ Łº Æ ª º Ł. Œ Œ Œ f Ł g ª º ß, (∃ _n ∈

∈ N) (∀ i > n) α_i = 0, β_i = 0. ª (∀ i > n) α_i + β_i = 0 ⇒ f + g

º æ ª º .

˜º f · g æ Ł γ_i,∀ i > 2n. Œ Œ Œ i = ν + µ, Ł æº Ł

i > 2n ⇒ ν > n ŁºŁ µ > n ⇒ α_ν = 0 ŁºŁ β_µ = 0 ⇒ γ_i = ^Pα_νβ_µ = 0 º i > 2n. , f · g º æ ª º . — ææ Ł æ æ Ł æ ß Ł Ł Ł ı ª º .

ˇ æ f 6= 0 Ł g 6= 0 ª º ß Ł k[x],

.

ˇ æ degf = n, æ α_n 6= 0, degg = m, æ β_m 6= 0. ˛Æ Ł

N = max(n,m).

— ææ Ł

æ ,

. º -

º , deg(f + g) 6 N. ˙ Ł , deg(f + g) 6 max(degf,degg). ˙ Œ

æ æ Łª æ , Ł , Ł n 6_{= m}.

— ææ Ł

ª γi = X ανβµ.

νν,µ+µ>=0i

¯æºŁ i > n + m, ν > n ŁºŁ µ > m ⇒ α_ν = 0 ŁºŁ β_µ = 0 ⇒ γ_i = 0.

ˇ º degf · g 6 n + m. ˙ Ł , degf · g 6 degf + degg.

æ Ł

.

Œ Œ Œ α_n 6= 0 Ł β_m 6= 0, α_nβ_m 6= 0. ´ æº γ_n+m 6= 0 Ł

degf · g = degf + degg.

6.2 º ŁŁ æ æ Œ . ` . ı ˆ

¯˛—¯ 6.2.1 ( º ŁŁ æ æ Œ ). ˇ æ _k º , _f Ł g ∈ k[x], Ł g 6= 0. ª æ ø æ Ł æ ª -

º q,r ∈ k[x] Œ ,

1) f = gq + r;

2) r = 0 (ŁºŁ r 6= 0,degr < degg).

˜ Œ º æ . I) ø æ Ł ª º q Ł r.

) ˇ æ f = 0 (ŁºŁ f 6= 0,degf < degg). ´ æº Łæ f = 0 · g + f,(q = 0, r = f). æº Ł 1) Ł 2) ß º ß.

Æ) f 6= 0 Ł degf > degg. ˇ æ

f = α_nxⁿ + ... + α₀, α_n 6= 0, g = β_mx^m + ... + β₀, β_m 6= 0.

degf = n, degg = m, n > m. ˇ æ Ł ª º

(1)

ª º f1 æ Œ, Æß Ł Ł f. ¨ f1 = 0 ŁºŁ f1 6= 0 Ł degf1 = n1 < n.	æ	łŁØ º	ª	º
¯æºŁ n1 < m, ææ æ Ł ª	º	Œ	Ł	. ¯æ-

ºŁ n₁ > m, , Æ

æ łŁØ Œ Ł Ł f₁, æ Ł

ª º

(2)

6.2. º ŁŁ æ æ Œ . ` . ı ˆ ˛ ª º f₂ æ Ł æ ŒŁ Æ , Æß Ł Ł æ -

łŁØ º ª º f₁. ¨ f₂ = 0 ŁºŁ f₂ 6= 0 Ł degf₂ = n₂ < n₁.

¯æºŁ n_{2 < m}, ææ æ Ł ª º Œ Ł . ¯æºŁ n₂ > m, º Ł . .

˙ Ł , æ Ł ª º f, f₁, f₂, f₃,... Æ æ ª

Æß ø æº º æ º ßı Łæ º, ª Œ Œ -

º Ł n > n₁ > n₂ > ... > n_s, ª n_s < m.

(s)

ª f_s = 0 ŁºŁ f_s 6= 0 Ł degf_s = n_s < m.

º Ł º æ æ (1),(2),...,(s), º Ł