Курс лекций Математические методы в психологии (стр. 11 из 32)
— дисперсия по первой выборке; 
— дисперсия по второй выборке.Вычисленное с помощью этой формулы значение F-критерия сравнивается с табличным (табл. 34), и если оно превосходит табличное для избранной вероятности допустимой ошибки и заданного числа степеней свободы, то делается вывод о том, что гипотеза о различиях в дисперсиях подтверждается. В противоположном случае такая гипотеза отвергается и дисперсии считаются одинаковыми1.
Таблица 34
Граничные значения F-критерия для вероятности допустимой ошибки 0,05 и числа степеней свободы n1 и n2
| n2 n1 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 12 | 16 | 24 | 50 |
| 3 | 9,28 | 9,91 | 9,01 | 8,94 | 8,84 | 8,74 | 8,69 | 8,64 | 8,58 |
| 4 | 6,59 | 6,39 | 6,26 | 6,16 | 6,04 | 5,91 | 5,84 | 5,77 | 5,70 |
| 5 | 5,41 | 5,19 | 5,05 | 4,95 | 4,82 | 4,68 | 4,60 | 4,58 | 4,44 |
| 6 | 4,76 | 4,53 | 4,39 | 4,28 | 4,15 | 4,00 | 3,92 | 3,84 | 3,75 |
| 8 | 4,07 | 3,84 | 3,69 | 3,58 | 3,44 | 3,28 | 3,20 | 3,12 | 3,03 |
| 12 | 3,49 | 3,26 | 3,11 | 3,00 | 2,85 | 2,69 | 2,60 | 2,50 | 2,40 |
| 16 | 3,24 | 3,0 | 2,85 | 2,74 | 2,59 | 2,42 | 2,33 | 2,24 | 2,13 |
| 24 | 3,01 | 2,78 | 2,62 | 2,51 | 2,36 | 2,18 | 2,09 | 1,98 | 1,86 |
| 50 | 2,79 | 2,56 | 2,40 | 2,29 | 2,13 | 1,95 | 1,85 | 1,74 | 1,60 |
1. Если отношение выборочных дисперсий в формуле F-критерия оказывается меньше единицы, то числитель и знаменатель в этой формуле меняют местами и вновь определяют значения критерия.
Примечание. Таблица для граничных значений F-распределения приведена в сокращенном виде. Полностью ее можно найти в справочниках по математической статистике, в частности в тех, которые даны в списке дополнительной литературы представленной в Теме № 1..
Пример.
Сравним дисперсии следующих двух рядов цифр с целью определения статистически достоверных различий между ними.
Первый ряд: 4,6,5,7,3,4,5,6.
Второй ряд: 2,7,3,6,1,8,4,5.
Средние значения для двух этих рядов соответственно равны: 5,0 и 4,5. Их дисперсии составляют: 1,5 и 5,25. Частное от деления большей дисперсии на меньшую равно 3,5. Это и есть искомый показатель F. Сравнивая его с табличным граничным значением 3,44, приходим к выводу о том, что дисперсии двух сопоставляемых выборок действительно отличаются друг от друга на уровне значимости более 95% или с вероятностью допустимой ошибки не более 0,05%.
МЕТОД КОРЕЛЛЯЦИЙ
Следующий метод вторичной статистической обработки, посредством которого выясняется связь или прямая зависимость между двумя рядами экспериментальных данных, носит название метод корреляций. Он показывает, каким образом одно явление влияет на другое или связано с ним в своей динамике. Подобного рода зависимости существуют, к примеру, между величинами, находящимися в причинно-следственных связях друг с другом. Если выясняется, что два явления статистически достоверно коррелируют друг с другом и если при этом есть уверенность в том, что одно из них может выступать в качестве причины другого явления, то отсюда определенно следует вывод о наличии между ними причинно-следственной зависимости.
Имеется несколько разновидностей данного метода:
*линейный,
*ранговый,
*парный и
*множественный.
Линейный корреляционный анализ позволяет устанавливать прямые связи между переменными величинами по их абсолютным значениям. Эти связи графически выражаются прямой линией, отсюда название «линейный».
Ранговая корреляция определяет зависимость не между абсолютными значениями переменных, а между порядковыми местами, или рангами, занимаемыми ими в упорядоченном по величине ряду.
Парный корреляционный анализ включает изучение корреляционных зависимостей только между парами переменных, а множественный, или многомерный, — между многими переменными одновременно.
Распространенной в прикладной статистике формой многомерного корреляционного анализа является факторный анализ.
На рис. 74 в виде множества точек представлены различные виды зависимостей между двумя переменными X и У (различные поля корреляций между ними).
На фрагменте рис. 74, отмеченном буквой А, точки случайным образом разбросаны по координатной плоскости. Здесь по величине X нельзя делать какие-либо определенные выводы о величине Y. Если в данном случае подсчитать коэффициент корреляции, то он будет равен 0, что свидетельствует о том, что достоверная связь между X и У отсутствует (она может отсутствовать и тогда, когда коэффициент корреляции не равен 0, но близок к нему по величине).
На фрагменте Б рисунка все точки лежат на одной прямой, и каждому отдельному значению переменной X можно поставить в соответствие одно и только одно значение переменной У, причем, чем больше X, тем больше У. Такая связь между переменными X и У называется прямой, и если это прямая, соответствующая уравнению регрессии, то связанный с ней коэффициент корреляции будет равен +1. (Заметим, что в жизни такие случаи практически не встречаются; коэффициент корреляции почти никогда не достигает величины единицы.)
На фрагменте В рисунка коэффициент корреляции также будет равен единице, но с отрицательным знаком: -1. Это означает обратную зависимость между переменными X и У, т.е., чем больше одна из них, тем меньше другая.
На фрагменте Г рисунка точки также разбросаны не случайно, они имеют тенденцию группироваться в определенном направлении. Это направление приближенно может быть представлено уравнением прямой регрессии.
Такая же особенность, но с противоположным знаком, характерна для фрагмента Д. Соответствующие этим двум фрагментам коэффициенты корреляции приблизительно будут равны +0,50 и -0,30. Заметим, что крутизна графика, или линии регрессии, не оказывает влияния на величину коэффициента корреляции.
 |
Рис. 74. Схематическое представление различных корреляционных зависимостей с соответствующими значениями коэффициента линейной корреляции (цит. по: Иберла К. Факторный анализ. М,, 1980).
Наконец, фрагмент Е дает коэффициент корреляции, равный или близкий к 0, так как в данном случае связь между переменными хотя и существует, но не является линейной.
Коэффициент линейной корреляции определяется при помощи следующей формулы:
где rxy — коэффициент линейной корреляции;
х, у - средние выборочные значения сравниваемых величин;
хi,уi — частные выборочные значения сравниваемых величин;
п — общее число величин в сравниваемых рядах показателей;
— дисперсии, отклонения сравниваемых величин отсредних значений.
Пример. Определим коэффициент линейной корреляции между следующими двумя рядами показателей.
Ряд 1: 2, 4, 4, 5, 3, б, 8.
Ряд II: 2, 5, 4, 6, 2, 5, 7.
Средние значения этих двух рядов соответственно равны 4,6 и 4,4.
Их дисперсии составляют следующие величины: 3,4 и 3,1. Подставив эти данные в приведенную выше формулу коэффициента линейной корреляции, получим следующий результат: 0,92. Следовательно, между рядами данных существует значимая связь, причем довольно явно выраженная, так как коэффициент корреляции близок к единице. Действительно, взглянув на эти ряды цифр, мы обнаруживаем, что большей цифре в одном ряду соответствует большая цифра в другом ряду и, наоборот, меньшей цифре в одном ряду соответствует примерно такая же малая цифра в другом ряду.