Курс лекций Математические методы в психологии (стр. 21 из 32)
 |
Рис. 2.5. Возможные варианты соотношении рядов значений в двух выборках; штриховкой обозначены зоны наложения
Ограничения критерия U
1. В каждой выборке должно быть не менее 3 наблюдении:
n1,n2 ≥3; допускается, чтобы в одной выборке было 2 наблюдения, но тогда во второй их должно быть не менее 5.
2. В каждой выборке должно быть не более 60 наблюдений; Однако уже при n1,n2 >20 ранжирование становится достаточно трудоемким.
На наш взгляд, в случае, если n1,n2 >20, лучше использовать другой критерий, а именно угловое преобразование Фишера в комбинации с критерием λ, позволяющим выявить критическую точку, в которой накапливаются максимальные различия между двумя сопоставляемыми выборками. Формулировка звучит сложно, но сам метод достаточно прост. Каждому исследователю лучше попробовать разные пути и выбрать тот, который кажется ему более подходящим.
Пример
Вернемся к результатам обследования студентов физического и психологического факультетов Ленинградского университета с помощью методики Д. Векслера для измерения вербального и невербального интеллекта. С помощью критерия Q Розенбаума мы в предыдущем параграфе смогли с высоким уровнем значимости определить, что уровень вербального интеллекта в выборке студентов физического факультета выше. Попытаемся установить теперь, воспроизводится ли этот результат при сопоставлении выборок по уровню невербального интеллекта. Данные приведены в Табл. 2.3.
Можно ли утверждать, что одна из выборок превосходит другую по уровню невербального интеллекта?
Таблица 2.3
Индивидуальные значения невербального интеллекта в выборках студентов физического (n1 =14) и психологического (n2=12) факультетов
| Студенты-физики | Студенты - психологи | |||||
| Код имени испытуемого | Показатели невербального интеллекта | Код имени испытуемого | Показатель невербального интеллекта | |||
| 1. | И.А | 111 | 1. | Н.Т. | 113 | |
| 2. | К.А. | 104 | 2. | О.В. | 107 | |
| 3. | К.Е. | 107 | 3. | Е.В. | 123 | |
| 4. | П.А. | 90 | 4. | Ф.О. | 122 | |
| 5. | С.А. | 115 | 5. | И.Н. | 117 | |
| 6. | СтЛ. | 107 | 6. | И.Ч. | 112 | |
| 7. | Т.А. | 106 | 7. | И.8. | 105 | |
| 8. | Ф.А. | 107 | 8. | КО. | 108 | |
| 9. | Ч.И. | 95 | 9. | Р.Р. | 111 | |
| 10. | Ц.А. | 116 | 10. | Р.И. | 114 | |
| 11. | См.А. | 127 | 11. | O.K. | 102 | |
| 12. | КАн. | 115 | 12. | Н.К. | 104 | |
| 13. | Б.Л. | 102 | ||||
| 14. | Ф.В. | 99 | ||||
Критерий U требует тщательности и внимания. Прежде всего, необходимо помнить правила ранжирования.
Правила ранжирования1. Меньшему значению начисляется меньший ранг.
Наименьшему значению начисляется ранг 1.
Наибольшему значению начисляется ранг, соответствующий количеству ранжируемых значений. Например, если п=7, то наибольшее значение получит ранг 7, за возможным исключением для тех случаев, которые предусмотрены правилом 2.
2. В случае, если несколько значений равны, им начисляется ранг, представляющий собой среднее значение из тех рангов, которые они получили бы, если бы не были равны.
Например, 3 наименьших значения равны 10 секундам. Если бы мы измеряли время более точно, то эти значения могли бы различаться и составляли бы, скажем, 10,2 сек; 10,5 сек; 10,7 сек. В этом случае они получили бы ранги, соответственно, 1, 2 и 3. Но поскольку полученные нами значения равны, каждое из них получает средний ранг:
Допустим, следующие 2 значения равны 12 сек. Они должны были бы получить ранги 4 и 5, но, поскольку они равны, то получают средний ранг:
и т.д.3. Общая сумма рангов должка совпадать с расчетной, которая определяется по формуле:
где N – общее количество ранжируемых наблюдений (значений).
Несовпадение реальной и расчётной сумм рангов будет свидетельствовать об ошибке, допущенной при начислении рангов или их суммировании. Прежде чем продолжить работу, необходимо найти ошибку и устранить её.
При подсчете критерия U легче всего сразу приучить себя действовать по строгому алгоритму.
АЛГОРИТМ 4
Подсчет критерия U Манна-Уитни
1.Перенести все данные испытуемых на индивидуальные карточки.
2.Пометить карточки испытуемых выборки 1 одним цветом, скажем красным, а все карточки из выборки 2 - другим, например, синим.
3.Разложить все карточки в единый ряд по степени нарастания признака, не считаясь с тем, к какой выборке они относятся, как если бы мы работали с одной большой выборкой.
4.Проранжировать значения на карточках, приписывая меньшему значению меньший ранг. Всего рангов получится столько, сколько у нас (n1 +n2).
5.Вновь разложить карточки на две группы, ориентируясь на цветные обозначения: красные карточки в один ряд, синие - в другой.
6.Подсчитать сумму рангов отдельно на красных карточках (выборка 1) и на синих карточках (выборка 2). Проверить, совпадает ли общая сумма рангов с расчетной.
7.Определить большую из двух ранговых сумм.
8.Определить значение U по формуле:
где n1 - количество испытуемых в выборке 1;
n2 - количество испытуемых в выборке 2;
Тх - большая из двух ранговых сумм;
nx - количество испытуемых в группе с большей суммой рангов. 9. Определить критические значения U по Табл. II Приложения
Если Uэмп >UKp0,05, Н0 принимается.
Если Uэмп ≤UKp0,05, Но отвергается. Чем меньше значения U, тем
достоверность различий выше.
Теперь проделаем всю эту работу на материале данного примера. В результате работы по 1-6 шагам алгоритма построим таблицу.
Таблица 2.4
Подсчет ранговых сумм по выборкам студентов физического и психологического факультетов
| Студенты-физики (n1 =14) | Студенты-психологи (n2 =12) | ||||||
| Показатель невербального интеллекта | Ранг | Показатель невербального интеллекта | Ранг | ||||
| 127 | 26 | ||||||
| 123 | 25 | ||||||
| 122 | 24 | ||||||
| 117 | 23 | ||||||
| 116 | 22 | ||||||
| 115 | 20,5 | ||||||
| 115 | 20,5 | ||||||
| 114 | 19 | ||||||
| 113 | 18 | ||||||
| 112 | 17 | ||||||
| 111 | 15,5 | 111 | 15,5 | ||||
| 108 | 14 | ||||||
| 107 | 11.5 | 107 | 115 | ||||
| 107 | 11,5 | ||||||
| 107 | 11,5 | ||||||
| 106 | 9 | ||||||
| 105 | 8 | ||||||
| 104 | 6.5 | 104 | 6,5 | ||||
| 102 | 4,5 | 102 | 4,5 | ||||
| 99 | 3 | ||||||
| 95 | 2 | ||||||
| 90 | 1 | ||||||
| Суммы | 1501 | 165 | 1338 | 186 | |||
| Средние | 107.2 | 111,5 | |||||
Общая сумма рангов: 165+186=351.
Расчетная сумма:
Равенство реальной и расчетной сумм соблюдено.
Мы видим, что по уровню невербального интеллекта более "высоким" рядом оказывается выборка студентов-психологов.
Именно на эту выборку приходится большая ранговая сумма: 186.
Теперь мы готовы сформулировать гипотезы:
H0: Группа студентов-психологов не превосходит группу студентов-физиков по уровню невербального интеллекта.
H1: Группа студентов-психологов превосходит группу студентов-физиков по уровню невербального интеллекта.
В соответствии со следующим шагом алгоритма определяем эмпирическую величину U:
Поскольку в нашем случае n1 не равно n2 подсчитаем эмпирическую величину U и для второй ранговой суммы (165), подставляя в формулу соответствующее ей пх:
Такую проверку рекомендуется производить в некоторых руководствах (Рунион Р., 1982; Greene J., D'Olivera M., 1989). Для сопоставления с критическим значением выбираем меньшую величину U: Uэмп =60.
По Табл. II Приложения 1 определяем критические значения для соответствующих п, причем меньшее п принимаем за n1 (n1 = 12) и отыскиваем его в верхней строке Табл. II Приложения 1, большее n принимаем за п2 (п2= 14), и отыскиваем его в левом столбце Табл. II Приложения 1.