Завершает разработку эпистемологического аспекта формирования единого нововременного математического комплекса (XVI — XVII в.в.) И. Кант. Он находит для «алгебры» и «геометрии» единое эпистемологическое — трансцендентальное — основание, и находит его в области чувственности. Возможность геометрии «выводится» из априорной формы чувственности — пространства, а в основании арифметики лежит другая априорная форма чувственности — время.
Обратим внимание на три принципиальных момента, проясняющих суть кантовского переосмысления природы математического знания. Во-первых, Кант существенно снижает «внутренний» статус математического знания, помещая ее на «шкале» познавательных способностей даже ниже (теоретической) «физики», которая работает на уровне рассудка. В этом смысле математика оказывается даже более эмпиричной (апостеорной), и занимает самый низший эпистемологический статус теоретического знания. Во-вторых, эпистемологическим (а не только онтологическим) базисом объединения математики выступает уже не «алгебра», как это было у Декарта, а «геометрия».
Таким образом, концепция математического априоризма Канта представляет собой промежуточный вариант — между сверх-априоризмом (умопостигаемостью) античности и эмпиризмом Нового времени — понимания природы и статуса математического знания.
Для иллюстрации современных — посткантовских — изменений в понимании природы и статуса математического знания кратко остановимся на анализе взглядов Г. Кантора и Г. Фреге.
Согласно концепции Г. Кантора в составе «арифметики» есть как «порядковые» (результат первой абстракции), так и «надпорядковые» — кардинальные — числа (результат второй абстракции). Тем самым внутренняя структура математического знания еще более усложняется. Соответственно, это также накладывает существенные ограничение на решение вопроса об априорности (апостеорности) математики в целом, т.к. верхние ее этажи являются более «априорными», чем нижние.
Фреге обосновал возможность математики как метанауки, исследующей не свойства (эмпирических) предметов, а признаки умопостигаемых понятий о предметах. В этом смысле математика, вернее ее «арифметический» комплекс, является метатеоретической — априорной! — дисциплиной по сравнению с «содержательными» теоретическими дисциплинам типа физики, химии, или, как принято говорить, математика является не содержательной, а «формальной» дисциплиной, что роднит ее с (формальной) логикой и метафизикой. В середине XX века фрегевское понимание математики (в качестве метанауки) получил развитие в работах Н. Бурбаки, которые рассматривали математику как (мета)науку о (мета)свойствах «математических структур», которые, в свою очередь, могут рассматриваться как канторовские «количественные» абстракции первого уровня.
Таким образом, в работах Г. Кантора и Г. Фреге (а позже и у Н. Бурбаки) было показано (обосновано), что математика является неоднородным иерархизированным комплексом знания, многослойной дисциплиной. Помимо «эмпирического» слоя математического знания, связанного с количественно-порядковой характеристикой предметов (абстрагирование от «качественной» определенности предметов), возможна априористская математика второго — «теоретического» — уровня (метауровня), которая изучает более высокие абстракции: «надпорядковые» структуры («кардинальные числа» Кантора) и/или «неопределенные предметы» — понятия (Фреге).
Современная математика является особой наукой, которая одновременно представляет собой: глобальное образование с укрупненным делением, выступающим как гносеологическое отражение структуры объекта математического познания; растущую и развивающуюся систему с внутренними генетическими взаимосвязями; целостный функционирующий организм с отдельными частями, выполняющими внутриматематические, специфические функции; иерархическую систему, структурированную на многие уровни.
2.3 Характеристика субъекта и объекта в познании. Субъектно-объектное представление естественно-научного познания, структура эксперимента и теории в рамках этого представления.
Познание - это взаимодействие субъекта и объекта, дающее в результате некое знание, но это знание возникает не сразу. Оно образуется в процессе взаимодействия субъекта познания с объектом при активной роли самого субъекта.
Субъект и объект - это две взаимоисключающие и взаимопредполагающие противоположности. Субъектом познания может выступать как отдельный индивид, так и коллектив, класс, общество в целом. Объектом знания может выступать вся объективная реальность, а предметом познания только ее часть или область, непосредственно, включенная в сам процесс познания.
В процессе познания участвуют в совокупности чувственное, рациональное познание, логика, интуиция.
Чувственное познание основано на чувственных ощущениях, отражающих действительность, и логике. Рациональное познание основано на разуме, его самостоятельной деятельности. Близким к рациональному является интуитивное познание, при котором истина самостоятельно приходит к человеку на бессознательном уровне. Общее направление процесса познания выражается в формуле: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике». Две ступени познания: чувственное и логическое познание – находятся в диалектическом единстве.
Чувственные формы играют важную роль в познании. Через чувства человек контактирует с внешним миром. К основным формам чувственного познания относятся: ощущение, восприятие и представление, ощущение – это элемент. Субъективный образ объективной реальности. Органы человека – результат длительного исторического развития. Хотя они наследуются биологически, степень их совершенства обусловлена трудовой деятельностью человека, человек способен значительно развить в себе тонкость и остроту чувств ощущений.
Специфической особенностью ощущений является их однородность. Любое ощущение дает сведения лишь о какой-то одной качественной стороне предмета.
Рационализм недооценивает роль чувственного в познании, утверждая, что мышление может постигать сущность вещей, минуя чувства, не опираясь на ощущения.
Теория - особая форма организации знания. Форма означает, что у знания есть какие-то признаки, которые не могут быть исключены ни при каких обстоятельствах (т.е. их можно и не исследовать).
Признаки теории: 1) созерцательная (теория - "смотрю") была изобретена в др. Греции. 2) теория с точки зрения логики: понятия, суждения и умозаключения изучает логика. Главное последнее. Теория - совокупность взаимосвязанных утверждений. Научное знание обязано быть теоретическим, но не всякое тер. знания может быть научным. Математика - язык науки или единственная область науки, основанная на теории. Любая теория в логическом плане изучает идеи или идеализированные объекты. 3) правило независимости. 4) принцип наблюдаемости. 5) теория выполняет функции для опыта: а) объясняет опытные данные, б) предсказывает новые опыты.
Логические особенности: 1) теоретическое знание должно быть логически не противоречиво. 2) логические связи должны охватывать все утверждения, относящиеся к данной теории (принцип системности). 3) аксиоматизация - берутся истинные утверждения и из них выводится какое-то третье (один из идеалов научности).
Теория - это высшая, обоснованная, логически непротиворечивая система научного знания, дающая целостный взгляд на существенные свойства, закономерности, причинно-следственные связи, определяющие характер функционирования и развития определенной области реальности. Теория может меняться путем включения в нее новых идей и фактов. Когда в рамках данной теории выявляется противоречие, неразрешимое в ее рамках, то его разрешение ведет к построению новой теории. Сердцевину н теории составляют входящие в нее законы. В теории выделяют такие существенные моменты: исходную эмпирическую основу (факты, данные экспериментов,); различного рода допущения, постулаты, аксиомы; логику теории, допустимые в рамках теории правила логических выводов и доказательств; совокупность выведенных утверждений с их доказательствами; законы наук, а также предвидение.
Различают описательные теории, математизированные, интерпретационные и дедуктивные теории.
Практика и познание тесно связаны друг с другом: практика имеет познавательную сторону, познание - практическую. В качестве источника познания практика дает исходную информацию, которая обобщается, обрабатывается мышлением. И теория выступает обобщением практики, обобщением информации об объекте на сущностном уровне. В практике и через практику субъект познает законы действительности, без практики нет знания сущности предметов.
Эксперимент как форма получения практического знания является движущей силой познания в целом. От него исходят импульсы, в значительной мере обусловливающие возникновение нового значения и его преобразования.
Эксперимент детерминирует переход от чувственного отражения объектов к их рациональному отражению, от одних методов исследования к другим, от одного мышления к другому, от эмпирического мышления к теоретическому.
Эксперимент осуществляется для многих целей: для ориентации в окружающей обстановке, для удовлетворения любознательности, для подтверждения теории и т.д. Если разделить все цели на непосредственные и конечные, тогда окажется, что практика - цель познания, в конечном счете. Практика - это специфический способ освоения, в котором результат деятельности адекватен ее цели.