Приводимое ниже доказательство выглядит обнадеживающим, но на самом деле не является действенным.
В нашем случае независимо от р или какого-либо другого общего закона h не имеет отношения к q; это значит, что наблюдения за другими планетами не делают существование
Нептуна ни более, ни менее вероятным, чем это было до наблюдений. Что касается других законов, то закон Боде мог бы считаться делающим более или менее вероятным то, что существует планета, имеющая более или менее орбиту Нептуна, но этот закон не указывал бы на ту часть ее орбиты, на которой она находилась в данное время. Если мы предположим, что закон Боде, как и всякий другой относящийся сюда закон, кроме закона тяготения, сообщает вероятность х предположению о планете, приблизительно находящейся на орбите Нептуна, и предположим, что видимое положение Нептуна было вычислено с допуском минимальной ошибки v, тогда вероятность нахождения Нептуна там, где он на самом деле находился, была бы v/2Пи. При этом и было очень мало и нельзя считать, что х было большое. Следовательно, pq/h, которое было х v/2Пи, было, конечно, очень мало. Предположим, что мы берем х равным 1/10, а и равным 6 минутам, тогда
Следовательно, если мы предположим, что p/h= 1/36, мы будем иметь у = 1/1000 и
Таким образом, даже в том случае, если — до открытия Нептуна — закон тяготения был столь же невероятен, как и двойная шестерка на игральных костях, он имел после этого шансы 1000 к 1 в свою пользу.
Это доказательство, распространенное на все наблюденные факты движений планет, ясно показывает, что если закон тяготения имел даже и очень небольшую вероятность в то время, когда он был впервые сформулирован, то он скоро стал действительно достоверным. Но это не помогает нам измерить эту первоначальную вероятность и, следовательно, не могло бы, даже будучи правильным, дать нам прочное основание для теоретического вывода от наблюдения к теории.
Более того, вышеприведенное доказательство не защищено от возражения ввиду того, что закон тяготения не является единственным законом, который ведет к ожиданию, что Нептун окажется там, где он был на самом деле. Предположим, что закон тяготения был истинен до времени t, где t есть любой момент после открытия Нептуна; тогда мы все же имели бы q/p'h= 1, где р' есть предположение, что закон был истинен только до времени t. Следовательно, имелось лучшее основание ожидать нахождения Нептуна, чем это вытекало бы из чистого шанса или из шанса вместе с законом Боде. В высокой степени вероятным сделалось то, что закон имел силу до этого. Для вывода, что он будет иметь силу и в будущем, требовался принцип, не выводимый из чего-либо в математической теории вероятности. Это соображение разрушает всю силу индуктивного доказательства общих теорий, если это доказательство не подкрепляется каким-либо принципом вроде такого, каким считается принцип единообразия природы. Здесь снова мы находим, что индукция нуждается в поддержке какого-либо внелогического общего принципа, не основанного на опыте.
Г. Теория Рейхенбаха.
Своеобразие теории вероятности Рейхенбаха состоит в том, что индукция включается в самое определение вероятности. Эта теория сводится к следующему (в несколько упрощенном виде).
Пусть дана статистическая последовательность — например, статистика жизней,— и пусть даны два пересекающих класса альфа и e, к которым принадлежат некоторые члены этой последовательности, тогда мы часто находим, что, когда число всех членов последовательности велико, процент членов класса р, которые являются членами класса а, остается приблизительно постоянным. Предположим, что когда число всех членов последовательности превосходит, скажем, 10000, оказывается, что отношение зарегистрированных р, которые суть а, никогда далеко не отходит от m/n и что эта рациональная дробь ближе к средне наблюдаемому отношению, чем всякая другая. Мы тогда "полагаем", что, сколько бы последовательность не продолжалась, это отношение всегда останется очень близким к m/n. Мы определяем вероятность того, что р есть а, как предел наблюденной частоты, когда число наблюдений бесконечно увеличивается, и в силу нашего "полагания" мы допускаем, что этот предел существует и находится поблизости от m/n, где m/n есть наблюденная частота в ее самом большом достижимом виде.
Рейхенбах подчеркивает, что никакое предложение не является достоверным; все только имеют ту или иную степень вероятности, и каждая степень вероятности есть предел частоты. Он признает, что как следствие этой доктрины предложения о перечисляемых предметах, посредством которых вычисляется частота, сами только вероятны. Возьмем, например, смертность; когда человек считается умершим, он может быть еще живым; следовательно, каждое предложение в статистике смертности сомнительно. Это значит, по определению, что запись смерти должна быть одной из последовательности записей, из которых некоторые правильны, другие — ошибочны. Но те, которые мы считаем правильными, являются только вероятно правильными и должны быть членами какой-либо новой последовательности. Все это Рейхенбах признает, но говорит, что на какой-то стадии мы прерываем бесконечный регресс и принимаем то, что он называется "слепым постулатом". "Слепой постулат" — это решение трактовать некоторые предложения как истинные, хотя мы и не имеем достаточного основания для этого.
В этой теории имеется два вида "слепых постулатов", именно: (1) крайние записи в статистической последовательности, которые мы рассматриваем как основоположные;
(2) допущение, что частота, обнаруженная в конечном числе наблюдений, останется приблизительно постоянной, как бы число наблюдений ни увеличивалось. Рейхенбах считает свою теорию полностью эмпирической, потому что он не утверждает, что его "постулаты" истинны.
Меня сейчас не касается общая теория Рейхенбаха, которую я рассматривал выше. Сейчас меня интересует только его теория индукции. Суть его теории следующая: если его индуктивный постулат истинен, то предсказание возможно, если же он не истинен, то — невозможно. Следовательно, единственный способ, с помощью которого мы можем получить какую-либо вероятность в пользу одного, а не другого предсказания, заключается в предположении, что его постулат истинен. Я не хочу отрицать, что какой-то постулат необходим, если должна быть какая-то вероятность в пользу предсказаний, но я хочу отрицать, что требуемый постулат является постулатом Рейхенбаха.
Его постулат следующий: если даны два класса а и бета и если дано, что случаи альфа представлены во временной последовательности, и если оказывается, что после того, как исследовано достаточное число а, отношение тех а, которые являются р, всегда приблизительно остается m/n, тогда это отношение будет оставаться, сколько бы случаев а ни могло быть последовательно наблюдаемо.
Прежде всего мы можем заметить, что этот постулат только по видимости является более общим, чем тот, который применяется, когда все наблюдаемые а являются р. Ибо в гипотезе Рейхенбаха каждый отрезок последовательности членов альфа имеет то свойство, что около m/n его членов являются Р и что к этим отрезкам может быть применен более специализированный постулат. Мы, следовательно, можем ограничиться рассмотрением этого более специализированного постулата.
Постулат Рейхенбаха эквивалентен, следовательно, следующему; когда наблюдается большое число а и когда оказывается, что всего они суть р, мы будем предполагать, что все или почти все альфа суть бета. Это предположение необходимо (как он полагает) для определения вероятности и для всякого научного предсказания.
Я думаю, что можно показать ложность этого постулата. Допустим, что а1, a2, ... a3 суть члены ос, которые наблюдались и оказались принадлежащими некоему классу р. Допустим, что an+1 есть следующий подлежащий наблюдению член ее. Если он тоже оказывается р, подставим вместо р класс, состоящий из р без аn+1 . Но в отношении этого класса индукция не удается. Этот вид доказательства может быть, очевидно, расширен. Из этого следует, что для того, чтобы индукция имела какой-либо шанс быть действенной, а и р должны быть не какими угодно классами, а классами, имеющим определенные свойства или отношения. Я имею в виду не то, что индукция должна быть действительной, когда между а и р имеется соответствующее отношение, а только то, что в этом случае она может быть действительной, в то время как может быть доказано, что она ложна в ее общей форме.
Может показаться очевидным, что а и р не должны быть тем, что можно было бы назвать "искусственными классами". Я назвал бы вышеупомянутый класс бета без an+1 "искусственным" классом. Вообще говоря, под "искусственным" классом я имею в виду класс, который определяется, по крайней мере отчасти, посредством упоминания, что такой-то термин является или не является его членом. Таким образом, "человеческий род" — не искусственный класс, а "человеческий род, за исключением Сократа" есть искусственный класс. Если а1, а2, ... an+1 суть n +1 членов а, впервые наблюденных, тогда а1, а2, ... an имеют то свойство, что они не являются аn+1, но как бы велико ни было n, мы не должны индуктивно выводить, что an+1 имеет это свойство. Классы альфа и бета должны определяться по содержанию, а не через упоминание их членов. Всякое отношение, оправдывающее индукцию, должно быть отношением между понятиями, и поскольку различные понятия могут определять один и тот же класс, постольку может случиться, что есть пара понятии, которые индуктивно соотносятся и соответственно определяют альфа и бета, тогда как другие пары понятий, которые тоже определяют а и р, индуктивно не соотносятся. Например, из опыта можно вывести, что не имеющие перьев двуногие животные смертны, но нельзя вывести, что разумные существа, живущие на земле, смертны, несмотря на тот факт, что эти два понятия определяют один и тот же класс.