Кейнс переводит это условие в другую форму, делая qn произведением n различных вероятностей. Допустим, что Q1 есть вероятность того, что первое А будет В, если обобщение ложно; О2 — вероятность, что второе А будет В, если обобщение ложно и если первое А есть В; Q3 — вероятность того, что третье А будет В, если обобщение ложно и если первые два А суть В, и так далее Тогда qn есть произведение чисел Q1, 02 Q3, ..., Qn, где Qn — вероятность того, что n-ное А будет В при условии, что обобщение ложно и первые (n —1)A суть все В. Если имеется какое-либо число, меньше, чем 1, такое, что все О составляют число меньшее, чем это число, тогда произведение n-Q будет меньше, чем n-ная степень этого числа и, следовательно, будет стремиться к нулю по мере возрастания n. Таким образом, наше условие удовлетворено, если имеется такая близкая к достоверности вероятность, скажем p того, что при ложности обобщения и при том, что (n —1)A оказались В, шанс, что n-ное А окажется В, будет всегда меньше, чем Р, если только n достаточно велико.
Нелегко видеть, как это условие может оказаться несостоятельным в отношении эмпирического материала. Если оно оказывается таковым, тогда, если £ есть любая как угодно малая дробь, а n есть любое как угодно большое число и если первые n А все суть В, но не все А суть В, то имеется такое число m, что вероятность того, что (m+n)-e А не есть В, будет меньше, чем e. Мы можем выразить это иначе. Каким бы ни было n, путь будет дано, что первые n А, но не все А суть В. Если мы теперь расставим последние A не в порядке их возникновения, а в порядке вероятности того, что они суть В, тогда пределом этих вероятностей является достоверность. Вот что должно произойти, если условие оказывается несостоятельным.
Ясно, что это условие менее интересно и гораздо легче осуществимо, чем предшествующее условие, гласящее, что наше обобщение должно иметь конечную вероятность еще до наблюдения благоприятных случаев. Если мы сможем найти принцип, обеспечивающий такую конечную вероятность для данного обобщения, тогда мы будем иметь право использовать индукцию для того, чтобы делать обобщение вероятным. Но при отсутствии такого принципа индукции не могут считаться делающими обобщения вероятными.
В вышеприведенном обсуждении я следовал за Кейнсом в рассмотрении только свидетельства в пользу "все А суть В'. Но на практике, особенно на более ранних стадиях исследования, часто бывает полезно знать, что "большинство А суть B". Допустим, например, что существуют две болезни, одна обычная, а другая редкая, имеющие очень сходные симптомы в своих ранних стадиях развития. Врач, наблюдая эти симптомы, поступит правильно, если решит, что ему, вероятно, предстоит иметь дело со случаем более обычной болезни. Очень часто случается, что законы, в отношении которых мы верим, что они не имеют исключений, открываются путем первичных обобщений, которые применяются к большинству случаев, но не ко всем. А очевидно, что для установления вероятности предложения "большинство А есть В' требуется более слабое свидетельство, чем для установления вероятности предложения "все А суть В'.
С практической точки зрения это различие ничтожно. Если достоверно, что m/n случаев А суть В, то m/n есть вероятность того, что следующее А будет В. Если вероятно, но не достоверно, что все А суть В то опять-таки вероятно, что следующее А будет В. Поскольку дело касается ожиданий следующего А, постольку будет, следовательно, верным то же самое, а именно, что большинство А суть В или же правильно будет считать вероятным, что все А суть В. Этого часто бывает достаточно для разумного ожидания и, следовательно, для практического руководства.
ГЛАВА 3.
ПОСТУЛАТ ЕСТЕСТВЕННЫХ ВИДОВ ИЛИ ОГРАНИЧЕННОГО МНОГООБРАЗИЯ.
Чтобы найти постулат или постулаты, необходимые для того, чтобы индуктивные вероятности стремились в достоверности как пределу, есть два требования. С одной стороны, постулат или постулаты должны быть достаточными с чисто логической точки зрения, чтобы выполнять ту работу, которая от них требуется. С другой стороны — а это более трудно выполнимое требование,— они должны быть такими, что некоторые выводы, зависящие от них в отношении своей правильности, были бы для обыденного здравого смысла более или менее бесспорными. Например, вы находите две словесно идентичные копии одной и той же книги, и вы без колебания предполагаете, что они имеют один и тот же общий для них источник. В таком случае, хотя всякий согласится с вашим выводом, принцип, оправдывающий этот вывод, неясен и может быть раскрыт только с помощью тщательного анализа. Я не требую, чтобы полученный нами с помощью этого метода общий постулат сам обладал бы какой-либо степенью самоочевидности, но я требую, чтобы некоторые выводы, которые логически зависят от него, были такими, что любой понимающий их человек, исключая философа-скептика, будет рассматривать их как настолько очевидные, чтобы не требовать доказательства. Конечно, не должно быть никаких положительных оснований для того, чтобы считать предлагаемый постулат ложным. В частности, он должен быть самодостаточным и не самопротиворечивым, то есть чтобы основанные на нем индукции имели заключения, согласующиеся с ним.
В настоящей главе я предполагаю рассмотреть постулат, предлагаемый Кейнсом и называемый им "постулатом ограниченного многообразия". Он имеет тесное родство, если не идентичен, с более старым постулатом естественных видов. Мы найдем, что этот постулат логически адекватен как основание для индукции. Я думаю также, что он может быть установлен в той форме, в которой наука до некоторой степени подтверждает его. Он, следовательно, удовлетворяет двум из трех требований к постулату. Но он, по-моему, не удовлетворяет третьему, а именно тому, что он должен быть открыт с помощью анализа, как подразумеваемый в доказательствах, которые все мы принимаем. На этом основании мне кажется, что необходимо искать другие постулаты, что я и сделаю в последующих главах.
Постулат Кейнса непосредственно возникает из его анализа индукции и предназначается для сообщения некоторым обобщениям той конечной предварительной вероятности, которая, как он показал, необходима. Перед тем как рассмотреть его, проанализируем доказательство, которое, как может показаться, говорит, что никакой постулат не является необходимым, поскольку всякое обобщение, какое только можно вообразить, имеет конечную предварительную вероятность, которая никогда не бывает меньше определенного минимума.
Возьмем случай, возникающий в действительной жизни и приближающийся к чистому шансу, а именно случай с пассажирами большого океанского парохода, прибывающими со своим багажом на таможню. Многие места их багажа имеют много ярлыков, один содержащий фамилию собственника, а другие — рекламирующие отели, в которых их собственник останавливался. Мы можем рассмотреть предварительную вероятность такого, например, обобщения: "каждый чемодан, имеющий ярлык А, имеет и ярлык В'. Для завершения аналогии с логикой предположим, что имеются также отрицательные ярлыки и что ни один чемодан не имеет сразу и ярлык "А", и ярлык "не-A", но что каждый чемодан имеет или один, или другой из этих двух ярлыков. При отсутствии дальнейшей информации, если мы выберем наудачу два ярлыка А и В, то каков будет шанс, что каждый чемодан, имеющий ярлык А, имеет или ярлык В, или ярлык не-B, шанс, что любой данный чемодан имеет ярлык В равен половине. (Я исхожу из того, что мы ничего не знаем о В и, в частности, что мы не знаем, является ли он положительным или отрицательным ярлыком.) Из этого следует, что если n чемоданов имеют ярлык А, то шанс, что все они имеют ярлык В, есть 1/2n. Это конечная величина, а если N есть общее число чемоданов, то она никогда не будет меньше, чем 1/2n.
Из вышеприведенного доказательства следует, что если число "вещей" во вселенной есть некое конечное число N, то обобщение 'все А суть В" всегда имеет предварительную вероятность, по крайней мере равную 1/2n. Это и есть предварительная вероятность, если каждая вещь имеет свойство А; если же только некоторые вещи имеют это свойство, то предварительная вероятность будет больше. Следовательно, теоретически достаточным постулатом в добавление к теории индукции Кейнса было бы допущение, что число "вещей" во вселенной конечно. Это эквивалентно допущению, что число пространственно-временных точек конечно. Это в свою очередь (если мы принимаем положение, выдвинутое в одной из предшествующих глав, согласно которому пространственно-временная точка есть группа сосуществующих качеств) эквивалентно допущению, что число качеств конечно.
Я не сомневаюсь, что это допущение является логически достаточным постулатом. Имеется, однако, два возражения против него. Одно из них гласит, что наука не дает никакого способа решить, является ли он истинным, так что он оказывается не самодостаточным; другое говорит, что N должно было бы быть настолько большим, что никакая индукция, какую мы только можем выполнить, не достигла бы сколько-нибудь удовлетворительной степени вероятности. Откажемся поэтому от вышеприведенного положения, являющегося просто любопытной мыслью, и перейдем к рассмотрению более практического предположения Кейнса.
Кейнс требует, чтобы было известно, что определенные обобщения имеют более высокую начальную вероятность, чем та, которую имеют обобщения, взятые полностью наудачу. Для этой цели он предлагает постулат о том, что соединения качеств образуют группы и что каждая группа может быть определена, когда даны только некоторые из качеств, составляющих ее. Он предполагает:
"Что все почти бесчисленные видимые свойства любого данного объекта возникают из конечного числа генерирующих свойств, которые мы можем назвать f1, f2; f3,... Некоторые возникают из одного (pi, некоторые же из (pi в соединении с f2 и так далее Свойства, которые возникают только из f1, образуют одну группу, те, которые возникают из f1 и f2 в их соединении, образуют другую группу и так далее Поскольку число генерирующих свойств конечно, постольку число групп также конечно. Если возникает ряд видимых свойств, скажем из трех генерирующих свойств f1, f2, f3, тогда можно сказать, что этот ряд свойств специфицирует группу f1, f2, f3. Поскольку предполагается, что общее число видимых свойств больше, чем число генерирующих свойств, и поскольку число групп конечно, постольку из этого следует, что если берутся два ряда видимых свойств, то при отсутствии противоположного свидетельства есть конечная вероятность того, что второй ряд свойств будет принадлежать к группе специфицированных первым рядом свойств".