Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (стр. 13 из 18)

.

Поскольку rank

=1, имеет единственное положительное собственное значение, которое, как нетрудно проверить, равно r_i, и ему соответствует единственный собственный вектор f_i. Поэтому

.

Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*) для

n

Лемма 4. Для любого изображения

решение (24) задачи (18) наилучшего приближения единственно и является элементом .

Доказательство. Достаточно доказать, что единственный (с точностью до положительного множителя) собственный вектор f_i оператора (23), отвечающий максимальному собственному значению r_i, можно выбрать так, чтобы

, поскольку в таком случае будут выполнены импликации:

,

составляющие содержание леммы. Действительно, если

то согласно (23) , поскольку включение означает, что ; отсюда и из (25) получим, что ,i=1,...,N, а поэтому и в (24) .

Убедимся в неотрицательности

. В ортонормированном базисе e₁,...,e_n, в котором , выходной сигнал i-го детектора в точке (см. замечание 1) задача на собственные значения (23*) имеет вид , p=1,...,n,

где

, .

Так как матрица

симметрическая и неотрицательно определенная ( ) она имеет n неотрицательных собственных значений , которым соответствуют n ортонормированных собственных векторов , а поскольку матричные элементы , то согласно теореме Фробенуса-Перрона максимальное собственное значение - алгебраически простое (некратное), а соответствующий собственный вектор можно выбирать неотрицательным:

. Следовательно, вектор f_i определен с точностью до положительного множителя , . n

Замечание 4.

Если

, т.е. если аппроксимируемое изображение на множествах того же разбиения имеет постоянный цвет, то в теореме 3 , .

Наоборот, если

, то

, т.е. определяется выражением (17), в котором .

Итак, пусть в изображении g(Ч) (17) все векторы f₁,.…..,f_N попарно не коллинеарны, тюею цвета всех подмножеств A₁,...,A_N попарно различны. Тогда форма в широком смысле

изображения (17) есть множество решений уравнения

, , (27)

где

, f_i - собственный вектор оператора Ф_i: , отвечающий максимальному собственному значению r_i, i=1,...,N . В данном случае , если и только если выполнено равенство (27).

Оператор П (24), дающий решение задачи наилучшего приближения

, естественно отождествить с формой в широком смысле изображения (17).

Заданы векторы цвета j₁,..., j_q, требуется определить разбиение A₁,..., A_q, на множествах которого наилучшее приближение имеет соответственно цвета j₁,..., j_q и оптимальные распределения яркостей

[10].