Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (стр. 14 из 18)

Речь идет о следующей задаче наилучшего в

приближения изображения

. (28)

Рассмотрим вначале задачу (28) не требуя, чтобы

. Так как для любого измеримого

, (29)

и достигается на

, (30)

то, как нетрудно убедиться,

, (31)

где звездочка * означает то же самое, что и в равенстве (14): точки xОX, в которых выполняется равенство

могут быть произвольно отнесены к одному из множеств A_i или A_j.

Пусть

- разбиение , в котором

(32)

а F: R_n-> R_n оператор, определенный условием

(33)

Тогда решение задачи (28) можно представить в виде

, (34)

где

- индикаторная функция множества A_i (31), i=1,...,q и F -оператор, действующий в по формуле (34) (см. сноску 4 на стр. 13).

Нетрудно убедиться, что задача на минимум (29) с условием физичности

(35)

имеет решение

(36)

Соответственно решение задачи (28) с условием физичности имеет вид

, (37)

где

- индикаторная функция множества

, (38)

В ряде случаев для построения (34) полезно определить оператор F⁺: R_n-> R_n, действующий согласно формуле

(39)

где

, так что ,i=1,...q. (40)

Подытожим сказанное.

Теорема 4. Решение задачи (28) наилучшего в

приближения изображения изображениями на искомых множествах A₁,...,A_q разбиения X заданные цветами j₁,..., j_q соответственно, дается равенством (34), искомое разбиение A₁,...,A_q определено в (31). Требование физичности наилучшего приближения приводит к решению (37) и определяет искомое разбиение формулами (38). Решение (34) инвариантно относительно любого, а (37) - относительно любого, сохраняющего физичность, преобразования, неизменяющего его цвет.

Формой в широком смысле изображения, имеющего заданный набор цветов j₁,..., j_q на некоторых множествах положительной меры A₁,...,A_q разбиение поля зрения можно назвать оператор

(34), формой такого изображения является оператор F⁺(37). Всякое такое изображение g(Ч), удовлетворяющее условиям физичности (неотрицательности яркостей), удовлетворяет уравнению F⁺g(Ч)=g(Ч), те из них, у которых m(A_i)>0, i=1,...,q, изоморфны, остальные имеют более простую форму. n

В заключение этого раздела вернемся к понятию формы изображения, заданного с точностью до произвольного, удовлетворяющего условиям физичности, преобразования яркости. Речь идет о форме изображения

, заданного распределением цвета , при произвольном (физичном) распределении яркости, например, . Для определения формы рассмотрим задачу наилучшего в приближения изображения такими изображениями

, (41)

Теорема 5. Решение

задачи (41) дается равенством

, (42)

в котором

, где . Невязка приближения

, (43)

(

!) n

Определение. Формой изображения, заданного распределением цвета

, назовем выпуклый, замкнутый конус изображений

или - проектор

на .