Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (стр. 2 из 18)

Для всякого излучения e(Ч) можно записать разложение

, (1*)

в котором

- координаты в базисе ,

или, в виде выходных сигналов детекторов излучения, -

, где , , - выходной сигнал i-го детектора, отвечающий j-ому излучению e_j(Ч), i, j=1,...,n. Матрица - стохастическая, поскольку ее матричные элементы как яркости базовых излучений неотрицательны и , j=1,...,n. При этом яркость и вектор цвета , , j=1,...,n, (конец которого лежит в П) определяются координатами a_j и цветами излучений , j=1,...,n, и не зависят непосредственно от спектрального состава излучения e(Ч).

В ряде случаев белое излучение естественно определять исходя из базовых излучений, а не из выходных сигналов детекторов, считая белым всякое излучение, которому в (1*) отвечают равные координаты:

.

Заметим, что слагаемые в (1*), у которых a_j<0,[3] физически интерпретируются как соответствующие излучениям, "помещенным" в левую часть равенства (1*) с коэффициентами -a_j>0:

. В такой форме равенство (1*) представляет “баланс излучений”.

Определим в

скалярное произведение и векторы , биортогонально сопряженные с : , i,j=1,...,n.

Лемма 2. В разложении (1*)

, j=1,...,n, . Яркость

, где

, причем вектор y ортогонален гиперплоскости П, так как

, i,j=1,...,n.

Что касается скалярного проиведения

, то его естественно определять так, чтобы выходные сигналы детекторов

были координатами f_eв некотором ортонормированном базисе

. В этом базисе конус . Заметим, что для любых векторов и, тем более, для , [4].

Пусть Х - поле зрения, например, ограниченная область на плоскости R₂, или на сетке

,

спектральная чувствительность j-го детектора излучения, расположенного в точке

;

- излучение, попадающее в точку

. Изображением назовем векторнозначную функцию

(2**)

Точнее, пусть Х - поле зрения, (Х, С, m) - измеримое пространство Х с мерой m, C - s-алгебра подмножеств X. Цветное (спектрозональное) изображение

определим равенством

, (2)

в котором почти для всех

,

, - m-измеримые функции на поле зрения X, такие, что

.

Цветные изображения образуют подкласс функций

лебеговского класса

функций . Класс цветных изображений обозначим L_E,_n.

Впрочем, для упрощения терминологии далее любой элемент

называется цветным изображением, а условие