Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (стр. 8 из 18)

Если учесть, условие физичности (2*), то формой цветного изображения следует считать проектор

на выпуклый замкнутый конус

(4***)

Аналогично формой черно-белого изображения следует считать проектор

на выпуклый замкнутый конус изображений (4*), таких, что

[2]. Дело в том, что оператор определяет форму изображения (4), а именно

- множество собственных функций оператора

. Поскольку

f(Ч) - наилучшее приближение изображения изображениями из , для любого изображения из и только для таких - . Поэтому проектор

можно отождествить с формой изображения (4).

Аналогично для черно-белого изображения a(Ч)

,[7] [2]. И проектор

можно отождествить с формой изображения (4*), как это сделано в работах [2,3].

Примечания.

Формы в широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения элементами

и , которая известна как транзитивность проецирования. Именно, если оператор наилучшего в приближения злементами выпуклого замкнутого (в и в ) конуса , то . Иначе говоря, для определения наилучшего в приближения элементами можно вначале найти ортогональную проекцию изображения на , а затем спроецировать в на . При этом конечномерный проектор для каждого конкретного конуса может быть реализован методом динамического программирования, а для многих задач морфологического анализа изображений достаточным оказывается использование лишь проектора П .

Форма в широком смысле

(4***) изображения (4) полностью определяется измеримым разложением , последнее, в свою очередь определяется изображением

,

если векторы

попарно различны. Если при этом , то форма в широком смысле может быть определена и как оператор П ортогонального проецирования на , определенный равенством (13).

Посмотрим, каким образом воспользоваться этими фактами при построении формы в широком смысле как оператора ортогонального проецирования на линейное подпространство

(10*) для произвольного изображения . Пусть - множество значений и - измеримое разбиение X , порожденное , в котором - подмножество X , в пределах которого изображение имеет постоянные яркость и цвет, определяемые вектором , если .