Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (стр. 12 из 18)

Задано разбиение

, требуется определить цвет и распределение яркостей наилучшего приближения на каждом A_i,i=1,...,N.

Для практики, как уже было отмечено, большой интерес представляет класс изображений (5), цвет которых не изменяется в пределах некоторых подмножеств поля зрения, и задачи аппроксимации произвольных изображений изображениями такого класса.

Запишем изображение (5) в виде

(17)

где

.

Пусть A₁,...,A_N - заданное разбиение X,

- индикаторная функция A_i, i=1,...,N. Рассмотрим задачу наилучшего в приближения изображения изображениями (17), не требуя, чтобы

(18)

Речь идет о задаче аппроксимации произвольного изображения

изображениями, у которых яркость может быть произвольной функцией из , в то время, как цвет должен сохранять постоянное значение на каждом из заданных подмножеств A₁,...,A_N поля зрения X, (см. Лемму 3).

Так как

то минимум S (19) по

достигается при

, (20)

и равен

(21)

Задача (18) тем самым сведена к задаче

. (22)

В связи с последней рассмотрим самосопряженный неотрицательно определенный оператор

. (23)

Максимум (неотрицательной) квадратичной формы

на сфере в R_n, как известно, (см.,например, [11]) достигается на собственном векторе y_i оператора Ф_i, отвечающем максимальному собственному значению >0,

,

и равен

, т.е. . Следовательно, максимум в (22) равен и достигается, например, при

Теорема 3. Пусть A₁,...,A_N -заданное измеримое разбиение X, причем[9] m(A_i)>0, i=1,...,N. Решением задачи (18) наилучшего приближения изображения

изображениями g(Ч) (17) является изображение

(24)

Операторы

,i=1,...,N, и - нелинейные (зависящие от f(Ч) ) проекторы: П_i проецирует в R_n векторы

на линейное подпространство , натянутое на собственный вектор оператора Ф_i (23), отвечающий наибольшему собственному значению r_i,

; (25)

П проецирует в

изображение

на минимальное линейное подпространство , содержащее все изображения

Невязка наилучшего приближения

(19*).

Доказательство. Равентство (24) и выражение для П_i следует из (17),(20) и решения задачи на собственные значения для оператора Ф_i (23). Поскольку Ф_i самосопряженный неотрицательно определенный оператор, то задача на собственные значения (23) разрешима, все собственные значения Ф_i неотрицательны и среди них r_i - наибольшее.

Для доказательства свойств операторов П_i, i=1,...,N, и П введем обозначения, указывающие на зависимость от f(Ч):

(26*)

Эти равенства, показывающие, что результат двукратного действия операторов П_i, i=1,...,N, и П (26) не отличается от результатата однократного их действия, позволят считать операторы (26) проекторами.

Пусть f_i - cсобственный вектор Ф_i , отвечающий максимальному собственному значению r_i. Чтобы определить

следует решить задачу на собственные значения для оператора :