Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (стр. 16 из 18)

(31)

где точки

, в которых выполняется равенство могут быть произвольно включены в одно из множеств : либо в , либо в . Это соглашение отмечено звездочкой в (31).

Таким образом доказана

Теорема 6. Пусть

заданные векторы R_n. Решением задачи (30) является изображение

,

где ортогональный проектор

определен равенством (25), а - индикаторная функция множества (31), i=1,...,N. Невязка наилучшего приближения равна

. n

Замечание 5. Так как при

,

то условия (31), определяющие разбиение

, можно записать в виде

, (32)

показывающем, что множество

в (32) инвариантно относительно любого преобразования изображения , не изменяющего его цвет.

Теоремы 3 и 6 позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f(Ч) изображениями (17), при котором должны быть найдены

и c_i⁰ , i=1,...,N, такие, что

.

Теорема 7. Для заданного изображения f(Ч) определим множества

равенствами (32), оператор П - равенством (24), - равенствами (25). Тогда ,

определено равенством (32), в котором

- собственный вектор оператора Ф_i (23), отвечающий наибольшему собственному значению, причем в (23) , наконец, будет дано равенством (20), в котором , где - собственный вектор оператора , отвечающий наибольшему собственному значению ; наконец,

. n

Замечание 6. Следующая итерационная процедура полезна при отыскании

: Для изображения f(Ч) зададим и по теореме 5 найдем и , затем по теореме 3, используя найдем и . После этого вновь воспользуемся теоремой 3 и по найдем и и т.д. Построенная таким образом последовательность изображений очевидно обладает тем свойством, что числовая последовательность , k=1,2,.….. монотонно не возрастает и, следовательно, сходится. К сожалению ничего определенного нельзя сказать о сходимости последовательности .

Формы

(10) и (9) удобно задавать операторами П_f и П_*f соответственно.

Теорема 7. Форма

в широком смысле изображения определяется ортогональным проектором П_*f :

,

при этом

и .

Доказательство. Так как для

, то получаем первое утверждение. Для доказательства второго утверждения рассмотрим выпуклую задачу на минимум , решение которой определяется условиями (см., например, [11]) . Отсюда следует, что и тем самым доказано и второе утверждение n