Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (стр. 6 из 18)

Нетрудно заметить, что в выражениях (5),(6) и (7) без потери общности можно принять условие нормировки

, позволяющее упростить выражения (6) и (7) для распределений яркости и цвета. С учетом нормировки распределение яркости на A_i задается функцией а цвет на A_i равен

(7*)

Форму изображения (5) определим как класс всех изображений

(8)

,

каждое из которых, как и изображение (5), имеет постоянный цвет в пределах каждого A_i, i=1,...,N. Форма таких изображений не сложнее, чем форма f(Ч) (5), поскольку в изображении

на некоторых различных подмножествах A_i, i=1,...,N, могут совпадать значения цвета, которые непременрно различны в изображении f(Ч) (5). Совпадение цвета на различных подмножествах A_i, i=1,...,N ведет к упрощению формы изображения по сравнению с формой f(Ч) (5). Все изображения , имеющие различный цвет на различных A_i, i=1,...,N, считаются изоморфными f(Ч) (и между собой), форма остальных не сложнее, чем форма f(Ч). Если , то, очевидно, .

Если в (8) яркость

, то цвет на A_i считается произвольным (постоянным), если же в точках некоторого подмножества , то цвет на A_i считается равным цвету на , i=1,...,N.

Цвет изображения (8) может не совпадать с цветом (5). Если же по условию задачи все изображения

, форма которых не сложнее, чем форма , должны иметь на A_i, i=1,...,N, тот же цвет, что и у то следует потребовать, чтобы , в то время, как яркости остаются произвольными (если , то цвет на A_i определяется равным цвету f(Ч) на A_i, i=1,...,N).

Нетрудно определить форму любого, не обязательно мозаичного, изображения f(Ч) в том случае, когда допустимы произвольные изменения яркости

при неизменном цвете j(x) в каждой точке . Множество, содержащее все такие изображения

(9)

назовем формой в широком смысле изображения

, у которого f(x)№0, m-почти для всех , [ср. 2]. является линейным подпространством , содержащем любую форму

, (10)

в которой включение

определяет допустимые значения яркости. В частности, если означает, что яркость неотрицательна: , то - выпуклый замкнутый конус в , принадлежащий .

Более удобное описание формы изображения может быть получено на основе методов аппроксимации цветных изображений, в которых форма определяется как оператор наилучшего приближения. В следующем параграфе дано представление формы изображения в виде оператора наилучшего приближения.

5. Задачи аппроксимации цветных изображений. Форма как оператор наилучшего приближения.

Рассмотрим вначале задачи приближения кусочно-постоянными (мозаичными) изображениями. Решение этих задач позволит построить форму изображения

в том случае, когда считается, что для любого преобразования , действующего на изображение как на вектор в каждой точке и оставляющего элементом , т.е. изображением. Форма в широком смысле определяется как оператор наилучшего приближения изображения изображениями