Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений (стр. 9 из 18)

Однако для найденного разбиения условие

, вообще говоря, невыполнимо и, следовательно, теорема 1 не позволяет построить ортогональный проектор П на . Покажем, что П можно получить как предел последовательности конечномерных ортогональных проекторов. Заметим вначале, что любое изображение можно представить в виде предела (в ) должным образом организованной последовательности мозаичных изображений

(*)

где

- индикатор множества

, принадлежащего измеримому разбиению

В (*) можно, например, использовать так называемую исчерпывающую последовательность разбиений [], удовлетворяющую следующим условиям

-

- C - измеримо,

;

- N+1-oe разбиение является продолжением N-го, т.е. для любого

, найдется i=i(j),

, такое, что

;

- минимальная s-алгебра, содержащая все

, совпадает с C.

Лемма (*). Пусть

- исчерпывающая последователь-ность разбиений X и

- то множество из

, которое содержит

. Тогда для любой C-измеримой функции

и m-почти для всех

[ ]. n

Воспользуемся этим результатом для построения формы в широком смысле П произвольного изображения

. Пусть - минимальная s-алгебра, относительно которой измеримо , т.е. пусть , где - прообраз борелевского множества , B - s-алгебра борелевских множеств . Заменим в условиях, определяющих исчерпывающую последовательность разбиений, C на и выберем эту, зависящую от , исчерпывающую последовательность ( - измеримых) разбиений в лемме (*).

Теорема (*). Пусть

,

- исчерпывающая последовательность разбиений X, причем - минимальная s-алгебра, содержащая все

и П^(N) - ортогональный проектор , определенный равенством ,

Тогда

1) для любого

-измеримого изображения

и почти для всех , ,

2) для любого изображения

при

(в

), где П - ортогональный проектор на .

Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из леммы (*) и определения

. Для доказательства второго утверждения заметим, что, так как A^(N+1)- продолжение разбиения A^(N), N=1,2,..., то последовательность проекторов П^(N), N=1,2,..., монотонно неубывает: и потому сходится (поточечно) к некоторому ортогональному проектору П. Так как - множество всех -измеримых изображений и их пределов (в

), а в силу леммы (*) для любого -измеримого изображения