Математические модели естествознания (стр. 14 из 64)

Вообще, когда речь идет о дифференцировании по скалярному аргументу, определения стандартны. Вполне аналогично предыдущему определяются производные от оператор-функции, матричных или тензорных функций. Важно, конечно, чтобы это были элементы линейных пространств, чтобы имело смысл выражение (9.1).

Когда приходится дифференцировать вектор-функцию скалярного аргумента, принимающую значения на некотором многообразии, необходимы дополнительные ухищрения. Обойтись без этого нельзя, потому что необходимо выяснить, что такое скорость точки, движущейся по поверхности. Так как же все-таки обобщить столь привычное нам определение производной (9.1) с тем, чтобы обойтись без операции вычитания? Разумеется, когда поверхность вложена в линейное пространство, или вообще, когда рассматриваемое движение происходит на гладком подмногообразии линейного пространства, можно сохранить определение (9.1), не смущаясь тем, что разность x(τ + ε) − x(τ) не будет лежать на этой поверхности. В действительности, даже оказывается, что всякое конечномерное многообразие можно вложить в конечномерное линейное пространство достаточно высокой размерности, и притом, конечно, многими способами (это теорема Уитни). Тут, однако, получается, что определение зависит от вложения поверхности. Математику вполне понятно, что использование лишних объектов в определении может лишь усложнить рассмотрения. Если в начале такого дела, как развитие новой теории, полениться серьезно поработать над определениями, поддаться впечатлению от кажущейся простоты, то последствия будут весьма неприятными. Современная абстрактная математика очень действенна, предпочитает определения, которые кажутся, может быть, сложными на вид, но в дальнейшем обеспечивают простоту в

обращении и бесперебойность работы построенного математического аппарата. Очень важно, что при этом не нужно (даже вредно) слишком глубоко задумываться на каждом шаге выкладок, а достаточно автоматически следовать формальным правилам. Подобные выкладки легко перепоручить компьютеру. К слову сказать, такую формальную систему и называют исчислением, таковы (в идеале) дифференциальное и интегральное исчисления.

Я привел это лирическое вступление для того, чтобы Вы не поленились освоить следующее определение и применяли его в дальнейшем. Лишь поначалу оно может показаться вычурным.

Итак, рассмотрим отображение x : R → M вещественной прямой в гладкую поверхность (и вообще, многообразие) M, то есть точку, движущуюся вдоль многообразия M по известному закону x = x(t). Возьмем произвольную гладкую функцию f : M → R. Теперь рассмотрим f(x(t)) — это уже скалярная функция скалярного переменного t. Мы хорошо знаем, как такие функции дифференцировать. Не буду приводить здесь точных определений гладкого многообразия M и гладкой функции f на M. Скажу лишь, что отображение x : t 7→ x(t) называется гладким, если f(x(t)) для любых гладких f имеет производную по t. Она, конечно, зависит от f, так что можно написать

. (9.2)

Если x(t₀) = a, и в окрестности точки a введены координаты x₁, x₂,...,x_n, то это равенство можно переписать в виде

Здесь v_k(x(t)) есть k-я компонента скорости x˙(t) движущейся точки x(t). А что такое скорость x˙(t)? Теперь ясно, что ее следует определить как дифференциальный оператор первого порядка V в формуле (9.2). В выбранных координатах в момент времени t = t₀ мы можем написать

. (9.4)

Итак, скорость x˙(t₀) оказалась линейным дифференциальным оператором! Первая практическая выгода такого определения состоит в том, что для вычисления компонент скорости в любой другой системе координат y₁,...,y_n достаточно в равенстве (9.4) проделать замену x₁ = x₁(y₁,...,y_n), ..., x_n = x_n(y₁,...,y_n). В качестве упражнения выразите компоненты вектора v в цилиндрических и сферических координатах, если он первоначально задан в декартовых координатах, так что v = (v₁,v₂,v₃). Я надеюсь, что чтение предыдущих абзацев побудит Вас изучить многообразия, векторы и векторные поля на многообразиях, например, по книгам [2, 3, 10].

Производные операторов и функционалов. Пусть задан оператор F : X → Y , действующий из вещественного банахова пространства X в вещественное банахово пространство Y . В частности, когда Y = R, оператор F есть функционал или функция на пространстве X. Сейчас мы рассмотрим основные определения и простейшие результаты, относящиеся к дифференцированию операторов.

Производная по Гато. Для любого h ∈ X рассмотрим F(x + sh), где s ∈ R. Согласно определению, производная Гато

оператора F в точке x есть

(9.5)

Таким образом,

есть оператор, зависящий от x, и для каждого x действующий из X в Y . Легко проверить, что он однороден:

. Однако, как показывают примеры, он не всегда

линеен. Предел в (9.5) можно понимать по разному, для определенности будем считать, что речь идет о сходимости по норме пространства Y . Замечу, что обрисованная вкратце идея дифференцирования скалярных функций на многообразиях позволяет перенести определение Гато и на операторы, заданные на банаховом многообразии.

Гато — талантливый французский математик, офицер французской армии, пропавший без вести во время I-й мировой войны.

Производная по Фреше. Производной Фреше в точке x ∈ X от оператора F : X → Y называется линейный оператор A : X → Y , обозначаемый через F⁰(x), такой, что для любого h ∈ X выполняется равенство

F(x + h) − F(x) = Ah + ω(x,h), (9.6)

причем для остаточного члена ω(x,h) справедливо предельное соотношение

, (9.7)

при h → 0, то есть при khk_X → 0.

Это означает, что ω(x,h) — слагаемое порядка выше первого относительно h. соответственно Ah есть главная линейная часть приращения оператора F. Ее называют дифференциалом Фреше. Легко видеть, что производная Фреше, когда она существует, совпадает с производной Гато. (Доказывается это непосредственно: заменим в (9.6) h на sh, разделим на s и устремим s к 0).

На практике производная всегда вычисляется при помощи определения Гато, а в приложениях, как правило, нужна производная Фреше. Поэтому, найдя производную по Гато, приходится проверять условие (9.7) для остаточного члена.

А вообще, производная есть производная, ее вычисление для явно заданного оператора F не вызывает серьезных трудностей, лишь бы она существовала. Пусть, например, X = Rⁿ, Y = R^m, а оператор F задан своим координатным представлением: для любого x = (x₁,...,x_n)

Fx = (F₁(x₁,...,x_n),...,F_m(x₁,...,x_n)). (9.8)

Если функции F₁,...,F_m — компоненты вектора F — непрерывно дифференцируемы, то производная F⁰(x) задается матрицей Якоби:

. (9.9)

В частности, когда m = 1, получается производная функции (функционала).

Градиент. Согласно теореме Ф. Рисса, всякий линейный функционал ϕ : H → R на евклидовом или гильбертовом пространстве H может быть реализован в виде скалярного произведения. Точнее, для любого ϕ найдется элемент h ∈ H, и притом только один, такой что

ϕ(x) = (x,h) (9.10)

для всех x ∈ H. Более того, отображение J : H^∗ → H, Jϕ = h есть изометрический изоморфизм, то есть J — линейный обратимый оператор, и khk = kJ_ϕk = k_ϕk для всех _ϕ ∈ H^∗. В этом смысле иногда говорят, что сопряженное пространство H^∗ (пространство линейных функционалов) совпадает с самим пространством H. Необходимо однако помнить, что такое отождествление законно лишь до тех пор, пока фиксирован изоморфизм J. Как мы увидим дальше, это очень существенно для приложений, в частности, в механике.

Пусть теперь f : H → R — функционал, заданный на H и имеющий при всех x производную f⁰(x). Согласно теореме Рисса, существует такой элемент (вектор) g(x) ∈ H, что линейный функционал f⁰(x) представится в виде

f⁰(x)u = (u,g(x)). (9.11)

Элемент g(x) называется градиентом функционала f в точке x и обозначается через grad f(x). Согласно этому определению,

f⁰(x)u = (u,grad f(x)). (9.12)

Вектор grad f(x) для каждого x определяет линейный функционал, который от x зависит, вообще говоря, нелинейно. Оператор grad f действует из H в H, или в символах grad f : x 7→ grad f(x) : H → H.