Таким образом, устойчивость по Ляпунову есть непрерывная зависимость решения задачи Коши для уравнения (29.1) от начальных данных (из окрестности точки x0), равномерная по времени t на бесконечном промежутке времени [0,∞].
Если равновесие x0 устойчиво по Ляпунову и, кроме того, возмущения затухают при t → +∞, так что ku(t)k → 0 при t → +∞, то скажем, что оно асимптотически устойчиво.
На первый взгляд может показаться, что из свойства притяжения (затухания возмущений) равновесия x0 следует и его устойчивость. А.М. Ляпунов проявил здесь глубокую проницательность, включив требование устойчивости в определение, хотя примеры решений, обладающих свойством притяжения, но неустойчивых, появились лет через пятьдесят. Возмущения таких решений (по крайней мере, некоторые) при t → +∞ затухают, но сначала их нормы вырастают до фиксированной, немалой величины. При этом можно подобрать решения с таким поведением, отвечающие сколь угодно малым начальным возмущениям.
До Ляпунова многие авторы занимались устойчивостью равновесий и движений. Существовало и несколько определений устойчивости — устойчивость по Лагранжу, устойчивость по Пуассону и т.д. Эти определения применяются иногда до сих пор, но имеют довольно частное значение. Когда говорят, что решение устойчиво, то подразумевается, что оно устойчиво по Ляпунову.
В приложениях теории устойчивости по сути используется, хотя обычно явно и не формулируется, принцип Ляпунова: данный режим движения системы можно наблюдать экспериментально в течение достаточно долгого (неограниченно долгого) времени в том и только в том случае, когда этот режим устойчив по Ляпунову.
Разумеется, устойчивость по Ляпунову есть качественное понятие, как и понятие непрерывности. На практике зачастую оно должно дополняться некоторыми количественными характеристиками. Скажем, интересно бывает уточнить, сколь малым должно быть δ (возмущение в начальный момент), чтобы обеспечить ε-малость возмущения для всех t ≥ 0. Когда некоторое равновесие или движение неустойчиво, возникает ряд новых вопросов. Насколько быстро рост возмущения разрушит основной режим?
Даже и неустойчивый режим (скажем, равновесие карандаша, стоящего на острие) можно наблюдать в течение некоторого времени, и интересно это время оценить. Это время может даже оказаться столь большим, что на практике мы сочтем основной режим устойчивым. Следующий вопрос — каково дальнейшее поведение возмущенных движений, когда они уже достаточно далеко отошли от основного? Думаю, что у Вас возникнет немало подобных вопросов. Замечательно, однако, что на практике принцип Ляпунова работает даже и без всяких количественных уточнений.
Теории устойчивости посвящены многие трактаты [24, 50, 25, 12, 26, 39, 11], начиная со знаменитой диссертации Александра Михайловича Ляпунова (1892). Вначале рассматривались конечномерные системы (обыкновенные дифференциальные уравнения) [24, 50, 25, 12, 26, 39], а затем и бесконечномерные [11].
Если нулевое решение линейного уравнения (29.2) устойчиво (в этом случае, очевидно, все его решения устойчивы, а потому допустимо называть устойчивым уравнение), то говорят, что равновесие x0 уравнения (29.1) устойчиво по линейному приближению, или что оно устойчиво относительно бесконечно малых возмущений.
А.М. Ляпунов развил методы исследования устойчивости решений, и, в частности, равновесий нелинейных систем дифференциальных уравнений — это знаменитые первый и второй (он же прямой) методы Ляпунова.
Первый метод Ляпунова основывается на линеаризации дифференциального уравнения на основном решении. А.М. Ляпунов указал условия, при которых исследование устойчивости по линейному приближению оказывается достаточным для решения вопроса об устойчивости основного решения. Он также развил методы исследования устойчивости в критических случаях — когда линейного приближения недостаточно и приходится привлекать следующие (после линейных) члены разложения ряда Тейлора данного дифференциального уравнения в окрестности основного режима. Наиболее полные результаты получаются в проблеме устойчивости равновесия автономной системы или периодического движения периодической системы. Приведу здесь результаты Ляпунова о законности линеаризации в задаче устойчивости (неустойчивости) равновесия автономной системы. Векторное поле f в уравнении (29.1) должно удовлетворять определенным условиям регулярности, достаточно, чтобы оно было C2 –гладким.
Напомню, что в конечномерном случае спектр σ(A) линейного оператора A есть набор его собственных значений σ(A) = {λ1,...,λk}. Здесь k — число различных собственных значений, так что k ≤ n.
Теорема 1. Пусть спектр линейного оператора A = f0(x0) — коэффициента в линеаризованном уравнении (29.2) — расположен в левой полуплоскости: все его собственные значения λ1,λ2,...,λk имеют отрицательные действительные части. Тогда равновесие x0 нелинейного уравнения (29.1) асимптотически устойчиво.
Если же хотя бы одно собственное значение, скажем, λj имеет положительную действительную часть (Reλj > 0), то равновесие неустойчиво.
Эта теорема не охватывает лишь те случаи, когда оператор A не имеет собственных значений в правой полуплоскости, но имеется хотя бы одно собственное число на мнимой оси. Такие случаи и называются критическими, это означает, что выполнено нестрогое неравенство Reλi ≤ 0 при i = 1,...,k, причем хотя бы для одного собственного значения λj имеет место равенство Reλj = 0. В любой книге по теории устойчивости (см., например, [50, 25, 12, 47]) Вы найдете результаты по устойчивости в различных критических случаях, а также формулировки многочисленных нерешенных проблем этой интересной области теории дифференциальных уравнений.
Здесь остается заметить, что в задаче устойчивости равновесия консервативной механической системы, когда не учитываются силы трения и другие факторы диссипации энергии, асимптотическая устойчивость равновесия невозможна (см. упражнение 1). Вместе с тем, результат о законности линеаризации в задаче о неустойчивости из теоремы 29 применим и к таким задачам.
Второй (прямой) метод Ляпунова возник как широкое и содержательное обобщение теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия натуральной механической системы в случае, когда оно дает потенциальной энергии строгий минимум. Подробное изложение прямого метода Ляпунова Вы найдете в уже цитированных руководствах по теории устойчивости. Этот метод позволяет получать результаты и об устойчивости, и о неустойчивости, и об асимптотической устойчивости как для автономных, так и для неавтономных дифференциальных уравнений. Здесь я ограничусь лишь теоремой об устойчивости равновесия автономного уравнения. Пусть x0 — равновесие автономного уравнения в Rn
x˙ = f(x). (29.8)
Полагая x(t) = x0 + u(t), где u(t) — возмущения, запишем соответствующее уравнение возмущений
u˙ = f(x0 + u). (29.9)
Мы помним, что устойчивость равновесия x0 — то же самое, что и устойчивость тривиального решения u(t) = 0 уравнения возмущений.
Предположим, что известна функция V (u), определенная в некоторой окрестности нуля в Rn и такая, что V (0) = 0 и V (u) > 0 при u 6= 0. Такая функция называется определенно положительной (или положительно определенной). Будем предполагать, что функция V непрерывно дифференцируема, и вычислим ее производную по времени V˙ в силу уравнения возмущений (29.9). Имеем
V˙ = −W; W = −(grad V (u),f(x0 + u)) (29.10)
(см. (5.3)). Знак минус в этой формуле поставлен ради будущих удобств.
Скажем, что функция U неположительна (Ляпунов и некоторые его последователи употребляют термин отрицательная), если выполняется условие U(0) = 0 и U(u) ≤ 0 всюду.
Аналогично, функция U называется неотрицательной, если U(0) = 0 и U(u) ≥ 0 всюду (по терминологии Ляпунова, положительная функция).
Обратите внимание, что во всех этих определениях предполагается выполненным условие U(0) = 0. Замечу, что аргумент 0 появился потому, что речь идет о нулевом решении.
Приведу здесь теорему Ляпунова об устойчивости для рассматриваемого частного случая.
Теорема 2. Пусть функция V определенно положительна, а ее производная неположительна. Тогда равновесие x0 уравнения (29.8) (или,чтотоже,нулевоерешениеуравнениявозмущений (29.9))устойчиво по Ляпунову.
Сделаем несколько замечаний по поводу этой теоремы. Я не привожу здесь доказательства, но суть теоремы нетрудно усмотреть из рисунка 16, где показано расположение поверхностей уровня функции V в окрестности точки u = 0. Рисунок показывает, что в условиях теоремы, когда значение V не возрастает, движение не может уйти далеко от точки 0.
Далее замечу, что эта теорема не исключает случая, когда функция V является интегралом уравнения (29.8), а производная V˙ ≡ 0. Чаще всего именно этот случай и возникает в приложениях, в этой ситуации данная теорема незаменима, а метод линеаризации не работает.
Очевидно, в теореме Ляпунова можно взять функцию V определенно отрицательной, если потребовать, чтобы производная V˙ была неотрицательной. Этот случай сводится к предыдущему заменой V на −V .