Математические модели естествознания (стр. 63 из 64)
. (A.5)Если x, y ∈ C1(M), то ввиду определения 1-центра (A.2), выполняется неравенство
ρ(x,y) ≤ d(M). (A.6)
Если x, y ∈ Cn(M), n ≥ 2, то x, y ∈ Cn−1(M), поэтому
.Отсюда сразу следует неравенство (A.5) при n = 2, а затем по индукции и для любых n.
Неравенство (A.5) показывает, что диаметр центра C(M) равен нулю. Это доказывает лемму 1.
Дальше будем считать, что X — банахово пространство, так что ρ(x1,x2) = kx1 − x2kX, где k · kX — норма в пространстве X.
Скажем, что множество M ⊂ X центрально-симметрично, и ξ ∈ X его центр симметрии, если точки x = ξ ± u принадлежат M. Заметим, что преобразование S : M → M, определенное равенством Sx = ¯x = 2ξ − x есть инверсия: S2x = x¯¯ = x, S2 = I.
Лемма 2. Если множество M в X — центрально-симметрично, то и его n-центры также центрально-симметричны (с тем же центром симметрии ξ), а центр C(M) либо пуст, либо состоит из одной точки ξ.
Доказательство. Докажем, что 1-центр C1(M) центрально-симметричен относительно точки ξ. Пусть x = ξ + u ∈ C1(M). Это означает, что неравенство
(A.7)выполнено для любых z ∈ M. Неравенство (A.7) остается верным и при замене z на z¯, так как z¯ ∈ M. Поэтому имеем
(A.8)Таким образом, 1-центр C1(M) центрально-симметричен. Очевидная индукция дает тот же результат и для n-центра Cn(M). Тогда и центр C(M) центрально-симметричен, будучи пересечением центрально симметричных множеств. Если теперь допустить, что центр C(M) содержит точку x = ξ + u, то также и точка x¯ = ξ − u ему принадлежит. Но, по лемме 1, эти точки должны совпадать. Поэтому u = 0, и лемма 2 доказана.
Следствие. Пусть множество M = {x1,x2}, где x1 и x2 произвольные точки в X. Тогда для множества M, состоящего из двух точек x1 и x2, центр C(M) есть множество, состоящее из одной точки
.Изометрии и вращения. Напомню, что отображение U : X → Y
метрического пространства X в метрическое пространство Y называется изометрическим или изометрией, если для любых x1, x2 ∈ X выполнено равенство
ρY (Ux1,Ux2) = ρX(x1,x2). (A.9)
В случае банаховых пространств X и Y равенство (A.9) записывается в виде
kUx1 − Ux2kY = kx1 − x2kX. (A.10)
Очевидно, всякое изометрическое отображение непрерывно. Столь же очевидно, что изометрия отображает пространство X на свой образ U(X) взаимно однозначно.
В любом банаховом пространстве X каждому элементу h можно поставить в соответствие изометрическое отображение Lh : x 7→ x+h, называемое переносом или трансляцией на вектор h. Если U : X → X — изометрия банахова пространства X, то отображение U0, определяемое равенством U0x = Ux − U(0) — также изометрия. При этом точка 0 ∈ X есть неподвижная точка отображения U0, так что U0(0) = 0.
Взаимно однозначное отображение U : X → X называется вращением (банахова пространства X), если оно изометрично и оставляет неподвижной точку ноль.
Подчеркну, что в следующей теореме не требуется, чтобы образ U(X) пространства X при отображении U совпадал со всем пространством Y .
Теорема Мазура и Улама. Всякое изометрическое отображение U : X → Y банахова пространства X в банахово пространство Y , переводящее 0 пространства X в 0 пространства Y (так что U(0) = 0) — линейно.
Доказательство. Пусть x1 и x2 — произвольные точки в X. Согласно следствию, центр множества {x1,x2} есть
.Определения n-центров и центра множества связаны лишь с метрикой, а изометрия U ее сохраняет. Поэтому ясно, что отображение U переводит центр любого множества M ⊂ X в центр его образа U(M) ⊂ Y . Поскольку центр множества {Ux1,Ux2} есть
, приходим к равенству
. (A.11)Полагая здесь x1 = x и x2 = 0 и учитывая, что U(0) = 0, для любого x ∈ X получим равенство
(A.12)Теперь для произвольных x1, x2 ∈ X, полагая в (A.12) x = x1 + x2 и применяя (A.11), выводим
(A.13).
Это означает, что оператор U аддитивен. Хорошо известно (см. ниже лемму 3), что, вместе с непрерывностью в нуле (а изометрический оператор непрерывен всюду), это свойство влечет линейность оператора U. Теорема доказана.
Лемма 3. Пусть оператор U : X → Y (X и Y — банаховы) аддитивен и непрерывен в точке 0 ∈ X. Тогда он непрерывен всюду и однороден, то есть U — линейный оператор.
Доказательство. По условию, для любых x1, x2 ∈ X выполняется равенство
U(x1 + x2) = Ux1 + Ux2. (A.14)
Из него по индукции получается более общее равенство
U(x1 + x2 + ... + xm) = Ux1 + Ux2 + ... + Uxm. (A.15)
Полагая x1 = x2 = ... = xm = x, выводим равенство
U(mx) = mUx (A.16)
для любого натурального m и любого x ∈ X. Заменяя здесь
, получим
(A.17)Поскольку m ∈ N в (A.16) и (A.17) произвольно, для любого рациональ-
ного числа
, выводим равенство
(A.18)Итак, всякое положительное рациональное число можно выносить за знак оператора U. Покажем, что можно выносить и −1. Действительно, если положить в (A.14) x1 = x2 = 0, то получится, что U(0) = 2U(0), так что U(0) = 0. Далее, если положить в (A.14) x1 = x и x2 = −x, то получим
U(0) = Ux + U(−x).
Так как U(0) = 0, выходит, что U(−x) = −U(x). Теперь ясно, что равенство (A.18) справедлива для любых рациональных
.Докажем, что из непрерывности аддитивного оператора в точке 0 следует его непрерывность в произвольной точке x. Действительно, если xn →
x, то ξn = xn − x → 0 и
Uxn −Ux = U(x+ξn)−Ux = Ux+Uξn −Ux = Uξn → 0, (A.19)
ввиду непрерывности оператора U в нуле. Итак, оператор U непрерывен в любой точке x ∈ X.
Если теперь λ ∈ R — любое вещественное число, то мы возьмем последовательность рациональных чисел вида
, сходящуюся к λ, и, переходя к пределу в (A.18), найдемU(λx) = λUx. (A.20)
Итак, оператор U непрерывен всюду, аддитивен и однороден, то есть линеен. Лемма 3 доказана.
Как доказал З. Хажинский [61], всякий изометрический оператор, действующий в конечномерном линейном метрическом пространстве также линеен. Для доказательства он построил по данной метрике преднорму (отличается от нормы только тем, что она может обращаться в ноль и на ненулевых векторах) с тем же нулем, инвариантную относительно всех изометрий. Далее, в [61] использована теорема Мазура–Улама и индукция по размерности пространства.
Упражнения к Приложению B
1. Метрическое пространство X состоит из 5-и точек: x1, x2, x3, x4,x5. Метрику зададим, полагая ρ(x1,x2) = 1, ρ(x1,x3) = 1, ρ(x1,x4) = 1; ρ(x1,x5) = 2; ρ(x2,x3) = 1/2; ρ(x2,x4) = 1/2; ρ(x2,x5) = 1; ρ(x3,x4) = 1/2; ρ(x3,x5) = 1; ρ(x4,x5) = 1. Проверьте выполнение аксиом метрики. Найдите 1-центр этого пространства, а также его центр.