Математические модели естествознания (стр. 32 из 64)

.

Докажите, что это уравнение имеет интеграл

3. Докажите, что уравнение малых поперечных колебаний упругой пластины

u_tt = −k∆²u,

например, с краевыми условиями

,

может быть получено из принципа Гамильтона, если определить потенциальную энергию равенством

4. Докажите, что в случае Φ(u) = ^R ρ(x)|u(x)|^αdx при α > 1 и регуD

лярной функции ρ(x) функциональная производная имеет вид

5. Докажите, что галеркинская система (16.21) обладает интеграломэнергии

E_m = T_m + V_m.

Пользуясь этим, докажите, что задача Коши для данной системы глобально разрешима для положительных t.

17. Динамика гибкой нерастяжимой нити

Специфические, очень интересные, широко применяемые на практике и во многом таинственные в теории динамические системы со связями возникают в механике сплошной среды. Среди них наиболее важные — несжимаемая жидкость и гибкая нерастяжимая нить. Сейчас мы применим принцип Гамильтона для систем со связями, обобщив его на системы с бесконечным числом степеней свободы, каковой является нить, и выведем уравнение движения нити. Сразу скажу, что наш вывод будет во многом формальным (хотя и гораздо более строгим, чем в обычных книгах по механике). Мы увидим, какие нужно ставить краевые условия. В частности, будет найдено естественное краевое условие, которое «возникает само собой» из принципа Гамильтона.

Начинать следует с определения положения системы, а затем определить конфигурационное и фазовое пространства. Физики говорят, что

x(s,t)

нить — это деформируемое твердое тело, у которого один из размеров много больше двух других. Конечно, это скорее относится к области применимости той математической модели, которую мы собираемся построить. Ясно, что необходимо иметь хотя бы интуитивное представление о том объекте, который мы стремимся описать при помощи математики.

Нить есть одномерная сплошная среда, другие одномерные сплошные среды — стержни, балки (в простейшем варианте, когда не учитывается их толщина), струйки пыли (одномерные пылевые среды).

Представим себе, что фиксировано стандартное состояние нити — отрезок [0,`] на вещественной оси, ` — длина нити. С точки зрения механики, мы рассматриваем недеформированное состояние нити. Но лучше понимать его абстрактно — не интересоваться поначалу, как эта недеформированная нить вложена в пространство, в котором происходит движение реальной нити.

Положение нити в данный момент t есть отображение x : [0,`] → R<sup>3</sup> (см. Рис. 6). Технически удобно считать, что точка на отрезке [0,`] задается своей декартовой координатой s. Мы сейчас имеем дело с нитью в пространстве R³, иногда интересно рассматривать нить в Rⁿ или на некотором подмногообразии в Rⁿ, а то и на произвольном многообразии.

Условие нерастяжимости нити означает, что не только ее полная длина ` не меняется в ходе движения, но и длина каждой ее дуги между s₁ и s₂ также не может меняться. Это можно записать в дифференциальной форме, для квадратов элементов длины: dx² = ds². Замечая, что dx² = x⁰²ds², запишем условие нерастяжимости нити в виде

x⁰² = 1. (17.1)

Здесь x⁰ = x⁰(s,t) — производная по s от x. Заметим, что x = (x₁,x₂,x₃) ∈ R³. Соотношение (17.1) далее трактуется как уравнение идеальной стационарной связи.

Итак, положение нерастяжимой нити есть отображение x : [0,`] → R³, удовлетворяющее уравнению (17.1). Если ничего больше не добавлять, получится, что мы рассматриваем нить со свободными концами. В случае, когда конец нити (скажем, левый s = 0) закреплен или совершает движение по заданному закону, нужно еще поставить дополнительное условие

, (17.2)

где x⁰(t) — заданный закон движения этого конца. В случае, когда x⁰(t) = a, т.е. положение не зависит от времени, выходит, что конец нити зафиксирован в точке a. Условие (17.2) также можно трактовать как идеальную связь. Это, конечно, означает, что мы пренебрегаем трением в точке закрепления нити.

Для определенности дальше будем рассматривать нить, у которой левый конец двигается по заданному закону, а правый — свободен. В этом случае условие (17.2) следует включить в определение конфигурационного пространства.

Нить — натуральная механическая система, её лагранжиан есть разность между кинетической энергией T и потенциальной энергией V :

L = T − V. (17.3)

Чтобы определить кинетическую энергию, нужно задать линейную плотность ρ(s). Тогда

(17.4)

В более общей ситуации имеется функция распределения µ = µ(s) массы вдоль нити. Функция µ(s) есть масса отрезка нити [0,s). Тогда кинетическая энергия задается интегралом Стилтьеса

. (17.5)

В том случае, когда функция µ(s) непрерывно дифференцируема (или хотя бы абсолютно непрерывна), выражение (17.5) переходит в (17.4), причем ρ(s) = _µ⁰(s). Дальше будем считать что кинетическая энергия выражается формулой (17.4).

Потенциальную энергию одномерной сплошной среды, которая двигается в R³, вообще говоря, можно подразделить на внутреннюю и внешнюю. Модель абсолютно гибкой нити строится на предположении, что внутренняя потенциальная энергия V_i = 0. В общей ситуации приходится учитывать как потенциальную энергию сжатия (её сейчас нет, потому что нить несжимаема), так и потенциальную энергию изгиба — тогда получаются различные модели упругого стержня или балки.

Внешняя потенциальная энергия создается внешними силами, действующими на нить. Если, например, нить находится в поле силы тяжести, то гравитационная потенциальная энергия задается формулой

(17.6)

где g — вектор ускорения силы тяжести. Предполагая, что кроме силы тяжести, нет иных внешних сил, мы можем записать лагранжиан абсолютно гибкой нити в виде (17.3), где T дается формулой (17.4), а V = V_e — формулой (17.6). Действие тогда записывается в форме

(17.7)

Теперь перейдем к применению принципа Гамильтона (δS = 0), с учетом связи (17.1) (точнее, бесконечного множества связей (17.1)).

Итак, пусть x = x(s,t) — истинное движение. Рассмотрим его деформацию x˜ = x˜(s,t,ε), определенную для _ε ∈ (−ε₀,ε₀), ε₀ > 0; величина ε₀ далее нигде не фигурирует, так что достаточно сказать, что ε изменяется в некоторой окрестности нуля. При этом мы предполагаем, что отображение x˜ : (s,t,ε) →7 x˜(s,t,ε) обладает некоторой гладкостью, достаточной для следующих преобразований. Если угодно, можно считать сначала, что x˜ ∈ C^∞, а затем уточнить, сколько производных на самом деле нужно. По определению деформации для всех s и t имеет место равенство x˜(s,t,0) = x(s,t). Кроме того, деформация x˜(s,t,ε) для всех малых ε должна удовлетворять уравнениям связей. В нашем случае это условие нерастяжимости нити (17.1), а также и условие закрепления (17.2):

x˜⁰²(s,t,ε) = 1, (17.8) x˜(0,t,ε) = x⁰(t). (17.9)

В принципе Гамильтона требуется, чтобы при заданных начальном и конечном моментах времени t₁ и t₂ деформация удовлетворяла условиям «закрепления концов»

x˜(s,t₁,ε) = x(s,t₁), x˜(s,t₂,ε) = x(s,t₂). (17.10)

Варьируя эти равенства, получаем условия для вариации

. (17.11)

Напомню еще, что операция варьирования δ есть дифференцирование по параметру деформации ε при ε = 0, так что

. (17.12)

Применение варьирования дает вариацию. Например, вариация δx определяется равенством

. (17.13)

Варьирование связей (17.8) и (17.9) дает равенства

, (17.14)

(17.15)

Ради краткости, в формуле (17.14) опущены аргументы s и t, а в (17.15) — t.

Варьируя действие (17.7), получаем

t₂ `

Z Z