Математические модели естествознания (стр. 48 из 64)
в которой появляются матрица Якоби
и абсолютная величина ее определителя — якобиана. В результате приходим к уравнению неразрывности в лагранжевой форме
, (24.7)где a = (Nt)−1x; в автономном случае, когда v = v(x) и не зависит от t, можно записать
.Якобиан
, на самом деле, положителен, поэтому и опущен знак модуля в (24.7). Действительно, J ≡ 1 при t = 0 и не может обращаться в ноль (см. упражнение 2).Заметим, что положительность функции ρ никак не использована, так что предыдущий вывод годится и для знакопеременной функции ρ. Например, он применим, когда ρ — плотность электрических зарядов, да и вообще, к произвольной функции ρ.
Эйлеров подход. Закон сохранения массы дает соотношение
Z Z
ρ(x,t)dx = ρ0(a)da (24.8)
Dt D
для любой области D ⊂ Rn и ее образа Dt = Nt(D) под действием эволюционного оператора Nt. Действительно, справа стоит масса жидкости, заключенной в области D, а слева — масса той же жидкости, занимающей в момент t область Dt.
Воспользуемся известной формулой дифференцирования по параметру интеграла по области, зависящей от этого параметра,
(24.9)Предполагается, что функция ρ достаточно регулярна, скажем, непрерывно дифференцируема по параметру t, а граница ∂Dt — гладкая и гладко зависит от t. Через vn = vn(x,t), x ∈ ∂Dt, обозначена нормальная компонента скорости точки границы (иногда говорят «кажущаяся» скорость). Знак плюс у второго слагаемого соответствует выбору внешней нормали. Если граница области Dt (или ее часть) задана уравнением Φ(x,t) = 0, причем
Φ(x,t) < 0 при x ∈ Dt, то орт внешней нормали n можно представить в
∇виде n— в предположении, что нигде на границе знаменатель не
обращается в ноль. При этом vn дается формулой
. (24.10)В случае области Dt можем написать: vn = v · n. Вообще же, формула (24.9) не требует знания движения частиц внутри области и поля их скоростей v. По-видимому, формула (24.9) Вам известна из курса механики сплошной среды, см. также книгу С.Л.Соболева [40].
Формула (24.9) имеет весьма наглядный смысл, она говорит, что масса жидкости изменяется лишь вследствие двух причин: изменения плотности внутри области со временем и наличия потока плотности внутрь области через границу.
Поскольку поле скорости v(x,t) известно, поверхностный интеграл в
(24.9) можно преобразовать в объемный интеграл при помощи формулы Гаусса–Остроградского, в результате получим
+ div( 
. (24.11)Последнее равенство выполняется в силу (24.8). Напомню, что в декартовых координатах дивергенция поля v = (v1,...,vn) выражается в виде div
.Очевидно, в качестве Dt можно выбрать произвольную область в Rn. Ее прообраз есть D = (Nt)−1(Dt). Но если интеграл от некоторой непрерывной функции по произвольной области равен нулю, то сама эта функция тождественно равна нулю. Если о функции известно лишь, что она интегрируема по Лебегу, то она при таком условии равна нулю почти всюду. Таким образом, из (24.11) следует уравнение неразрывности в эйлеровой форме, называемое также уравнением Лиувилля
+ div ρv = 0. (24.12)Наш вывод представляет собой вполне очевидное обобщение вывода уравнения неразрывности в механике сплошной среды. Разумеется, для этого вывода физический смысл функции ρ, а также ее положительность, не имеют значения.
Можно также получить уравнение неразрывности (24.12) из лагранжева уравнения неразрывности (24.7). Для этого достаточно продифференцировать уравнение (24.7) по t (при фиксированном a) и применить результат упражнения 2. Уравнение неразрывности получится в виде
div v = 0. (24.13)Здесь через
обозначена производная по t при фиксированном a, то есть при фиксированной жидкой частице. Она называется материальной производной (а также субстанциональной или индивидуальной). В эйлеровых переменных материальная производная выражается формулой
. (24.14)Разумеется, уравнения (24.12) и (24.13) совпадают.
В общей теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (см., например, несколько старомодное, но весьма наглядное изложение в книге В.В. Степанова [41]) переход к лагранжеву описанию называется методом характеристик. Характеристики уравнения неразрывности (24.12) суть движение жидких частиц. Полученное выше лагранжево уравнение неразрывности (24.7) дает возможность свести решение задачи Коши для уравнения (24.12) с начальным условием ρ(x,0) = ρ0(x) к решению задачи Коши (24.1), (24.2) для уравнения характеристик.
Ответ записывается в виде
, (24.15)где
Инвариантная мера и инвариантная плотность
В случае, когда v = v(x), т.е. не зависит от t, особый интерес представляют решения уравнений Лиувилля, не зависящие от времени. Если такое решение ρ(x) всюду неотрицательно: ρ(x) ≥ 0 для всех x ∈ Rn, то его называют инвариантной плотностью. Если еще выполняется равенство
Z
ρ(x)dx = 1, (24.16)
Rn
то такую плотность называют нормированной или вероятностной, а также плотностью вероятности. Знание плотности вероятности ρ позволяет для любой наблюдаемой ϕ, то есть функции ϕ : Rn → R на фазовом пространстве системы, определить ее среднее значение равенством
(24.17)В теории вероятностей наблюдаемое ϕ носит название случайной величины, а ее среднее ϕ
называется математическим ожиданием данной случайной величины.Инвариантная плотность определяет инвариантную меру µ(Ω) всякого измеримого по Лебегу множества Ω. Достаточно положить
µ
(24.18)Свойства инвариантности выражается равенством
µ(NtΩ) = µ(Ω). (24.19)
Замечу, что, во-первых, не всякая мера обладает плотностью, а лишь меры, абсолютно непрерывные по отношению к мере Лебега. Во-вторых, определение инвариантной меры естественно распространяется и на необратимое отображение N произвольного пространства с мерой (X,µ). В таком случае, однако, определение следует видоизменить: вместо (24.19), потребовать, чтобы выполнялось равенство
µ(N−1Ω) = µ(Ω). (24.20)
При этом N−1Ω означает полный праобраз измеримого относительно µ отображения N. Для обратимых отображений оба определения, конечно, эквивалентны.
Проблемам, связанным с инвариантными мерами динамических систем — потоков и каскадов, посвящена эргодическая теория динамических систем — одна из самых красивых и увлекательных областей математики; читайте книги [48, 31]. Подробнее об инвариантных мерах мы поговорим дальше.
Наиболее простой и весьма важный случай инвариантной плотности представится, если уравнение Лиувилля (24.12) допускает постоянное решение ρ = 1. Для этого, очевидно, нужно, чтобы выполнялось условие
div v = 0. (24.21)
Лагранжево уравнение неразрывности (24.7) в этом случае принимает вид
. (24.22)В частности, это означает, что имеет место сохранение объемов
Vol Dt = Vol D (24.23)
для любой области D ⊂ Rn, причем Dt = NtD. Жидкость, таким образом, в этом случае несжимаема (конечно, и нерастяжима). Сформулируем полученные результаты подробнее.
Предложение. Для того чтобы фазовая жидкость уравнения (24.1) была несжимаемой, и жидкие объемы не менялись со временем, необходимо и достаточно, чтобы поле скоростей v(x,t) было соленоидально, то есть удовлетворяло уравнению (24.21). При этом уравнение Лиувилля принимает вид
. (24.24)Функцияρ,такимобразом,являетсявэтомслучаеинтеграломуравнения (24.1).