Математические модели естествознания (стр. 27 из 64)

+ grad V (x) = 0. (14.15)

Мы использовали здесь очевидное соотношение

. Уравнение (14.15) эквивалентно уравнению (14.14) при сделанном предположении, что Θ(θ) > 0 при всех _θ ∈ [θ₁,θ₁].

Принцип Мопертюи и геодезические на многообразии

Кинетическая энергия, а точнее, оператор масс M, как мы уже видели, определяет новую евклидову метрику на пространстве H: скалярное произведение (ξ,η)_M = (Mξ,η). С точки зрения геометрии новое скалярное произведение определяет новый элемент длины ds по формуле

ds² = (Mdx,dx) = (dx,dx)_M. (14.16)

В геометрии правая часть носит название первойдифференциальнойформы. Форма (14.16) называется еще римановой метрикой, ее задание превращает H в риманово многообразие.

С использованием формулы (14.16), действие (14.9) можно записать в виде

(14.17)

Параметр s имеет смысл длины дуги траектории x = x(s). Конечно, эта длина связывается с определением (14.16). Снова, как мы видим, геометрия определяется распределением масс. Значения s₁ и s₂ задаются условиями x(s₁) = x¹, x(s₂) = x².

Действие в общей форме (14.17) также приобретает смысл длины траектории, если ввести еще одну риманову метрику, полагая

dS² = 2(h − V (x))ds². (14.18)

Правда, эта метрика может иметь особые точки.

Самый простой случай представится, когда V (x) = 0. Действие A принимает тогда вид

(14.19)

√

и лишьнесущественныммножителем 2hотличаетсяотдлинытраектории, соединяющей точки x¹ и x² и вычисленной в соответствии с M-метрикой.

Требование, чтобы эта длина была минимальна, или хотя бы экстремальна (стационарна), вытекающее из принципа Мопертюи ∆A = 0, принимает форму

∆(s₂ − s₁) = 0. (14.20)

В геометрии это равенство служит определением геодезической (линии). Это важный результат. Оказывается, классическая механика консервативных систем тождественна римановой дифференциальной геометрии.

Замечу, что и в общем случае действие по Мопертюи имеет смысл длины траектории, но вычисляемой согласно метрике (14.18).

Вернемся к исходному определению (14.3) действия по Мопертюи. В рассматриваемом сейчас случае, когда V = 0, кинетическая энергия T есть интеграл, так что T = h = const. Действие приобретает вид

t2

Z

A = 2h dt = 2h(t2 − t1). t1 Принцип Мопертюи теперь приводит к равенству	(14.21)
∆(t2 − t1) = 0.	(14.22)

Это принцип Ферма: среди виртуальных траекторий, соединяющих точки x¹ и x², так что x(t₁) = x¹, x(t₂) = x², истинная траектория выделяется требованием, чтобы время достижения конечной точки было минимально.

Пьер Ферма (1601–1665) сформулировал его в оптике в более общем случае неоднородной среды.

• П. Ферма — юрист и по совместительству великий математик, знал интегрирование и дифференцирование до Ньютона и Лейбница, а декартовы координаты и уравнения прямых, плоскостей и поверхностей второго порядка — до Декарта. Он научился находить максимумы и минимумы функций (помните теорему Ферма?). Весьма значительный вклад внес Ферма в физику, а также в теорию чисел. Многие открытые и доказанные им теоремы являются классическими. Знаменитая великая теорема Ферма (до сих пор неизвестно, доказал ли ее он сам) была предметом упорной и безрезультатной работы многих математиков в течение трех столетий, пока ее, наконец, завершая усилия многих ученых, не доказал английский математик Эндрью Уайлс (1995).

Преломление света. Закон Снеллиуса

Хотя еще Птолемей в II в. н. э. сделал довольно точные измерения углов падения и преломления луча света, проходящего через поверхность раздела между водой и воздухом, закон преломления света был открыт лишь в XVII веке Снеллиусом (1615) и носит его имя.

Голландский профессор Виллеброрд Снелл (1580–1626) не публиковал своих работ. Их разыскал Рене Декарт и опубликовал в 1637 году. Декарт предложил качественное и довольно туманное объяснение закона. Сейчас мы увидим, что закон Снеллиуса следует из принципа Ферма, который его впервые обосновал.

Предположим, что луч света выходит из точки A, преломляется в поверхности раздела двух сред и попадает в точку B, см. Рис. 5. Предположим, что в среде I скорость света есть v₁, а v₂ — скорость света в среде II. Задача состоит в том, чтобы найти угол преломления β, если задан угол падения α.

Применим принцип наименьшего времени Ферма. Если путь, пройденный лучом от A до точки преломления O есть `<sub>1</sub>, а его путь от точки O до B есть `₂, то время t, за которое луч проходит весь путь от A до B, определяется равенством

. (14.23)

Примем границу раздела за ось x, а точку преломления за начало декартовых координат. Пусть координаты точки A суть (−a,−h), а точки B — (b,k). Тогда справедливы соотношения:

a = `1 sinα, h = `1 cosα,

b = `2 sinβ, k = `2 cosβ.

(14.24)

r B

I

r

A

Точки A и B фиксированы, так что величины h и k заданы. Имеем равенства:

. (14.25)

С другой стороны, точка O не определена, как и величины a и b, лишь сумма a + b известна заранее. Справедливо равенство

`<sub>1</sub>sinα + `₂ sinβ = a + b. (14.26)

Подстановка выражений (14.25) в это равенство дает соотношение

htgα + k tgβ = a + b. (14.27)

Подстановка (14.25) в (14.23) дает выражение времени прохождения луча через углы α и β:

. (14.28)

Теперь нам нужно решить задачу об условном минимуме функции t = t(α,β) с условием связи (14.27). Варьирование дает соотношение:

. (14.29)

Варьирование уравнения связи (14.27) приводит к равенству

. (14.30)

Согласно принципу Ферма, δt = 0. С учетом формул (14.29), (14.30) отсюда выводим

. (14.31)

Это и есть закон Снеллиуса с конкретизацией правой части; сам Снеллиус нашел это соотношение экспериментально.

15. Применение принципа Гамильтона в механике сплошной среды

Принцип Гамильтона применим и к системам с бесконечным числом степеней свободы, каковыми являются сплошные среды — жидкости, газы, деформируемые твердые тела. Он также применим к различным физическим полям, например, к электромагнитному полю, в некотором формальном смысле это превращает электродинамику, а точнее — некоторую ее существенную часть, в раздел механики. Замечу, что уже при рассмотрении уравнения обобщенного второго закона Ньютона (11.18) размерность конфигурационного пространства не играла сколько-нибудь серьезной роли, наш вывод был по сути «безразмерным». Для физических теорий, однако, характерно, что лагранжианы, потенциальная энергия, кинетическая энергия, работа внешних сил и т.д. выражаются в виде интегралов по области, занятой сплошной средой. Введенные ранее понятия производной функционала и градиента функционала приобретают новые специфические черты, возникает интересное и важное понятие функциональной производной, которое ввел впервые Вито Вольтерра.

В этом разделе мы сначала в качестве примера выведем волновое уравнение из принципа Гамильтона. Уже в этом случае мы увидим дополнительную выгоду использования принципа Гамильтона в механике и физике сплошных сред: он не только приводит к уравнениям движения, но дает также вывод некоторых краевых условий. Такие краевые условия называются естественными. Обычно они возникают на разного рода свободных границах — свободных от внешних воздействий. Затем мы рассмотрим некоторые обобщения вместе с понятием функциональной производной. Завершается этот раздел рассмотрением конечномерных аппроксимаций бесконечномерных систем и важной роли принципа Гамильтона в построении таких аппроксимаций.

Волновое уравнение

Волновое уравнение является, пожалуй, наиболее непосредственным обобщением уравнения второго закона Ньютона на сплошную среду. С формальной стороны оно даже является частным случаем этого уравнения в гильбертовом пространстве. Самый существенный новый момент состоит в появлении неограниченных операторов. Именно по этой причине в теории нелинейных волновых уравнений остается немало белых пятен. Здесь я ограничу изложение формальным выводом.