Математические модели естествознания (стр. 57 из 64)

Хотя в теории переход к уравнению возмущений удобен и практически всегда проводится, он не является необходимым. Условие определенной

положительности функции V (u) означает, что она в точке u = 0 достигает строгого минимума. Можно рассматривать функцию V (x), определенную в окрестности точки x₀ и достигающую в ней строгого минимума. Тогда, та функция, которая фигурирует в теореме, естественно записывается в виде

V (u) = V (x₀ + u) − V (x₀). (29.11)

Приведу общее определение функции Ляпунова дифференциального уравнения. Это такая функция V (x,t), что монотонно возрастает (либо убывает) для любого решения x(t). Функция V , удовлетворяющая условиям теоремы 2, обычно называется функцией Ляпунова первого рода. Пожалуй, вообще, единственный способ узнать что-то о качественном поведении решения дифференциального уравнения, не решая его, состоит в том, чтобы найти его функцию Ляпунова. Сама по себе теорема 2 не содержит указаний о том, каким образом мы можем такую функцию построить. Практически полезных общих методов здесь не существует. Однако для ряда важных классов уравнений надлежащие функции Ляпунова известны. В механике зачастую бывает достаточно в качестве функции Ляпунова использовать полную механическую энергию, быть может, в комбинации с другими интегралами (импульса, момента импульса и т.д.), если они нам известны.

Устойчивость равновесия механической системы

Ограничимся натуральными системами, для которых лагранжиан имеет вид

L = T − V, (29.12)

где V = V (q) — потенциальная энергия, а кинетическая энергия T есть квадратичная форма относительно скоростей с коэффициентами, зависящими, вообще говоря, от координат:

. (29.13)

Здесь q = (q₁,...,q_n) — точка n-мерного конфигурационного пространства. Специфика состоит в том, что мы теперь имеем дело с уравнениями второго порядка — уравнениями Лагранжа второго рода. Пусть q⁰ — равновесие, так что q˙⁰ = 0. Введем возмущения u, полагая q(t) = q⁰ + u, q˙ = u˙ для любого решения q(t). Линеаризацию уравнений Лагранжа на решении q⁰ можно провести, работая с лагранжианом L. Для этого достаточно подставить выражение q = q⁰ + u в формулу (29.12) и выделить главную квадратичную часть лагранжиана. Для кинетической энергии имеем

, (29.14)

где многоточие обозначает слагаемые степени выше второй относительно u, u˙. Для потенциальной энергии V разложение можем написать в виде

(29.15)

где опущенный остаточный член имеет степень выше второй относительно q; в случае, когда V ∈ C³, он имеет порядок не ниже третьего. Выражение u² можно трактовать как тензорный квадрат, для нас сейчас это просто обозначение.

Первое слагаемое в (29.15) есть несущественная константа, и можно положить V (q⁰) = 0. Второе слагаемое исчезает, потому что q⁰ — равновесие и, следовательно, является критической точкой потенциальной энергии.

В результате можем написать

L = T₂ − V₂ + ..., (29.16)

где T₂ дается формулой (29.14), а квадратичная форма V₂ имеет вид

. (29.17)

В (29.16) опущены члены порядка малости выше второго при u → 0. Мы видим, что квадратичная форма (29.17) задается симметричной матрицей Гесса функции V

. (29.18)

Линеаризованные на равновесии q⁰ уравнения Лагранжа (полные уравнения нет нужды здесь выписывать) определяются лагранжианом

, (29.19)

где A — оператор Гесса (29.18), а оператор M задается матрицей с коэффициентами m_ik(q⁰). В итоге линеаризованное уравнение, которое является уравнением Лагранжа второго рода с лагранжианом (29.19), принимает вид

Mu¨ = −Au. (29.20)

Это — общий вид уравнения малых колебаний натуральной механической системы около равновесия q⁰. Мы видим, что уравнение малых колебаний сохраняет форму обобщенного уравнения 2-го закона Ньютона.

Кинетическая энергия есть положительно определенная квадратичная форма относительно скоростей. Поэтому оператор M положительно определен:

. Оператор A = grad V₂ самосопряжен. Он может быть как знакоопределенным, так и знакопеременным.

Из теоремы 29 непосредственно следует теорема Лагранжа об устойчивости равновесия. Как я уже говорил раньше, исторически теоремы прямого метода Ляпунова возникли как обобщение этой теоремы. Вместе с тем, сама теорема Лагранжа явилась замечательным обобщением принципа Торричелли (1642 г.): механическая система находится в устойчивом равновесии, когда ее центр тяжести занимает наинизшее возможное положение. Разумеется, во времена Торричелли (гениального ученика гениального Галилея), даже во времена Лагранжа понятие устойчивости не было строго оформлено. Поэтому, быть может, правильно было бы говорить о теореме Торричелли–Лагранжа–Ляпунова.

Теорема 3. (Теорема Лагранжа). Равновесие q⁰ механической системы (29.20) устойчиво если потенциальная энергия V достигает в точке q⁰ (хотя бы локального) строгого минимума.

Доказательство. Нетрудно видеть, что в условиях теоремы Лагранжа полная механическая энергия E = T + V есть функция Ляпунова первого рода. Действительно, для любого q из окрестности q⁰ и произвольного q˙ имеем

E(q,q˙) ≥ V (q) > V (q⁰) = E(q⁰,0). (29.21)

Первое неравенство выполнено потому, что T — положительно определенная квадратичная форма, второе неравенство — в силу условия теоремы. Последнее равенство верно потому, что q˙⁰ = 0. Мы доказали, что E достигает строгого минимума в положении равновесия q⁰. Так как E^˙ = 0, условия теоремы (29) выполнены, и теорема Лагранжа доказана

Как известно, достаточным условием строгого минимума служит положительная определенность второго дифференциала V₂ потенциальной энергии V в критической точке q⁰.

Таким образом, из положительной определенности оператора A следует устойчивость равновесия q⁰ по Ляпунову. Выходит, что в этой ситуации линеаризация все-таки законна, хотя мы имеем дело с критическим случаем.

Естественно возникает вопрос об условиях неустойчивости равновесия. Это — проблема обращения теоремы Ляпунова, которая до сих пор не решена и остается объектом исследований. Ляпунов доказал, что равновесие q⁰ неустойчиво в том случае, когда второй дифференциал d²V (q⁰)(ξ,ξ) может для некоторых векторов ξ принимать отрицательные значения. В частности, q⁰ — неустойчивое равновесие, когда второй дифференциал отрицательно определен, и функция V в точке q⁰ достигает максимума (самая сильная неустойчивость). Случай, когда форма d²V (q⁰)(ξ,ξ) неотрицательна, но не положительно определена, является критическим и требует дальнейшего исследования с учетом высших членов разложения Тейлора функции V . Повторюсь, хотя многие авторы продолжали исследования Ляпунова (см. [50, 39, 17]), проблема неустойчивости равновесия полностью не решена.

Если разыскивать частные решения уравнения (29.20) в виде

u_ω(t) = e^iωtϕ, (29.22)

где ϕ — постоянный вектор, придем к спектральной задаче: найти числа ω (вообще говоря, комплексные) такие, что уравнение

Aϕ = ω²Mϕ (29.23)

имеет ненулевое решение ϕ. При M = I это обычная задача на собственные значения для оператора A. Имеются различные способы свести общую задачу (29.23) к обыкновенной задаче на собственные значения для самосопряженного оператора. Видимо, лучший из них — попросту обратить в (29.23) оператор M и перейти от стандартной метрики в Rⁿ к новой, порождаемой скалярным произведением

(ϕ,ψ)M = (Mϕ,ψ). Тогда уравнение (29.23) примет вид	(29.24)
M−1Aϕ = ω2ϕ,	(29.25)

и при этом оператор M⁻¹A оказывается самосопряженным относительно метрики (29.24). Действительно, для любых ϕ и ψ имеется равенство

(M⁻¹Aϕ,ψ)_M = (Aϕ,ψ) = (ψ,Aϕ) = (ϕ,M⁻¹Aψ)_M. (29.26)

Мы уже раньше видели (см. формулу (11.19) и последующий текст), что переход от стандартного скалярного произведения к скалярному произведению (29.24), порождаемому оператором масс M, приводит общее уравнение второго закона Ньютона к его частному случаю с оператором M = I. Как вы знаете, все собственные значения самосопряженного оператора вещественны. Поэтому вещественны все собственные числа оператора M⁻¹A, и соответственно, частота ω вещественна, если _ω² > 0, и является чисто мнимой при _ω² < 0. Это, впрочем, можно установить и непосредственно. Умножим уравнение (29.23) скалярно на ϕ (напомню, что в комплексном случае (ϕ,ψ) = ^Pϕ_kψ_k^∗, если ϕ = (ϕ₁,...,ϕ_n) и ψ =