Математические модели естествознания (стр. 44 из 64)

Сейчас мы покажем, что в случае ограниченной области D, при условии неподвижности границы, возмущения все-таки затухают экспоненциально. Решающую роль далее играет неравенство Фридрихса

Z Z

u² dx ≤ _γ⁻¹ (∇u)² dx, (21.28)

D D

которое справедливо для любых функций u, исчезающих на границе области D, константа γ = γ_D зависит лишь от области D, которая сейчас предполагается ограниченной.

Если векторное поле v исчезает на границе ∂D, то записываем неравенство (21.28) для каждой его декартовой компоненты v_i, i = 1,2,3 и, суммируя полученные неравенства, приходим к неравенству Фридрихса для векторного поля

Z Z

v² dx ≤ _γ⁻¹ (∇v)² dx, (21.29)

D D

Замечу, что неравенство Фридрихса заведомо несправедливо для неограниченных областей D, содержащих окрестность бесконечно удаленной точки, например, для областей, внешних по отношению к шару или другой ограниченной области. Вместе с тем, оно остается справедливым например для слоя между двумя плоскостями, если предполагать, что функция u исчезает на бесконечности. На самом деле, неравенство (21.28) остается верным, если расстояние ρ(x,∂D) точки x ∈ D от границы ∂D ограничено сверху. Слой этим свойством обладает, а угол на плоскости или клин в R³ — не обладает, и для них неравенство (21.28) уже неверно; (см., однако, упражнение 3).

Понятно, что неравенство (21.28) остается верным, если константу γ уменьшить. Наилучшее, то есть наибольшее, значение константы γ в этом неравенстве есть наименьшее собственное значение оператора Лапласа при краевом условии первого рода. Известен вариационный принцип (см. [28]): наименьшее собственное значение λ₁ спектральной краевой задачи

(21.30)

можно определить как минимум функционала

, (21.31)

Минимум здесь берется по всевозможным функциям, исчезающим на границе области D.

Вообще для оператора Лапласа с краевым условием первого рода существует бесконечная последовательность собственных значений λ₁ ≤ λ₂ ≤ ... ≤ λ_n ≤ ..., причем λ_n → ∞, когда n → ∞. Все они положительны и полупросты. В случае скалярных функций можно доказать, что λ₁ — простое собственное значение, которому отвечает единственная (с точностью до ненулевого скалярного множителя) собственная функция ϕ₁; известно, что она не меняет знака в области D. Можно считать, что ϕ₁(x) > 0 для всех x ∈ D, см.[28]; [18].

Обратимся к уравнению изменения энергии (21.26) ((21.27)). Оценивая правую часть при помощи неравенства Фридрихса (21.29)

(21.32)

Из (21.32) стандартно выводим оценку
T(t) ≤ T(0)e−2γνt.	(21.33)

Таким образом, кинетическая энергия жидкости экспоненциально убывает. В качестве γ можно взять определенное выше собственное значение λ₁.

Однако наилучшее (то есть наибольшее) значение этой постоянной находится посредством решения спектральной задачи Стокса

−∆v = µv − ∇q,	(21.34)
div v = 0,	(21.35)

. (21.36)

Можно доказать, что и эта спектральная задача имеет последовательность положительных собственных значений µ₁ ≤ µ₂ ≤ ... ≤ µ_n ≤ ..., µ_n → +∞ при n → ∞, см.[58]. В качестве γ в (21.33) можно взять µ₁, и этот результат уже не улучшаем: существуют решения линеаризованной на равновесии v₀ = 0 системы Навье – Стокса, которые затухают в точности по закону e^−2νµ1t. Более того, решения с таким же поведением имеются и у нелинейной системы Навье – Стокса.

Остается повторить, что наш вывод основывается на предположении, что существует гладкое решение, определенное для всех t > 0. В настоящее время это предположение доказано для произвольных гладких начальных полей лишь в двумерном случае, а для трехмерного случая представляет собой одну из самых жгучих нерешенных проблем современной математики.

Нужно еще подчеркнуть, что проблема поведения решения при t → +∞ резко усложняется, когда на границе области D задана ненулевая скорость, и когда имеются непотенциальные массовые силы. Один из классиков математической гидродинамики Э.Хопф меланхолически заметил, что в такой общей ситуации течение жидкости при t → +∞ по-прежнему стремится к чему-то, “но это что-то далеко от того, чтобы быть единственным стационарным течением” (“...but this something is far from to be a single stationary point”). Здесь мы встречаемся с новым, до сих пор таинственным явлением — турбулентностью. Возникают сложные режимы течения жидкости, в которых скорость и давление претерпевают сложные хаотические колебания в пространстве и во времени.

Упражнения

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение x˙ = −Ax в гильбертовом пространстве H. Предположим, что A самосопряженный оператор, и его спектр состоит из положительных собственных значений λ₁,...,λ_k,..., причем λ_k → 0 при k → ∞, а также предельной точки 0. Докажите, что все решения этого уравнения стремятся к нулю при t → ∞, но могут стремиться к нулю сколь угодно медленно: какова бы ни была положительная функция ρ(t), определенная при t > 0, найдется такое решение данного уравнения, для которого выполнено предельное равенство

.

Указание. Докажите, что эволюционный оператор U(t) этого уравнения при t → +∞ стремится к нулю поточечно, но неравномерно. Примените теорему Банаха–Штейнгауза.

2. Докажите, что всякое решение уравнения теплопроводности

∆u во всем пространстве Rⁿ с условием

и с начальным условием u(x,0) = ϕ(x), причем _ϕ ∈ L₂(Rⁿ), стремится к нулю при t → +∞ по норме L₂: ^R u²(x,t)dx → 0, причем эта сходимость может быть сколь

Rn угодно медленной (см. упражнение 1).

3. Пусть D есть угол на плоскости, определяемый в полярных координатах (r,θ) неравенством 0 < θ < α, где 0 < α < 2π. Докажите, что неравенство Фридрихса в этом случае уже несправедливо, но для любой функции u, исчезающей на границе, справедливо неравенство

причем µ — положительная постоянная, зависящая только от α, но не от функции u. Сформулируйте и докажите аналогичный результат для случая, когда D — конус в Rⁿ.

4. Докажите, что всякая функция, определенная на пространстве R³, непрерывно дифференцируемая и затухающая на бесконечности, удовлетворяет неравенству Лерэ

если интеграл в правой части сходится; x ∈ R³ — произвольная точка.

Указание. Рассмотрите интеграл

Примените интегрирование по частям и неравенство Коши–Буняковского.

ЭЛЕМЕНТЫСТАТИСТИЧЕСКОЙМЕХАНИКИ

В статистической механике наиболее удобной формой уравнений оказалась гамильтонова. Механическая система определяется заданием ее гамильтониана H(q,p). Предполагается, что он не зависит от времени, так что выполняется закон сохранения энергии и H есть интеграл системы

q˙ = H_p, p˙ = −H_q.

Число степеней свободы n в приложениях статистической механики очень велико. Вы помните число Авогадро 6.023 · 10²³ — число молекул в одной грамм-молекуле вещества. Нет надежды не только на то, чтобы решить столь большие системы уравнений, но даже их записать. Другая трудность состоит в том, что нет никакой возможности найти или измерить начальные данные для такой системы.

С другой стороны, нам и не нужны столь детальные знания, скажем, о движении молекул воздуха. Что бы мы с ними стали делать? Здесь возникает довольно обычная для физики проблема сокращения информации. Цель, конечно, состоит в том, чтобы уменьшить объем информации о процессе до уровня, допускающего ее хранение и обработку, а вместе с тем, достаточного для предсказания и управления. Выходом оказывается применение идей и подходов теории вероятностией.

Главный постулат статистической механики гласит, что измеряемые в опытах макроскопические величины — температура, плотность, концентрации компонент (например, соли в рассоле), напряженности электрического и магнитного полей и т.д. суть средние (математические ожидания), вычисленные в соответствии с надлежащей инвариантной плотностью. В принципе, здесь могла бы фигурировать инвариантная мера общего вида, не обязательно абсолютно непрерывная относительно меры Лебега. Однако в известных мне работах по статистической физике применяются исключительно инвариантные меры, определяемые инвариантными плотностями. Могу предположить, что использование более общих инвариантных мер — дело будущего.