Математические модели естествознания (стр. 2 из 64)
Имеется довольно много книг, названия которых начинаются словами «Математические модели ...» или «Математическое моделирование в ...» Дальше поминается биология, экономика, химия,... Знакомство с этими книгами сразу показывает, что речь в них идет по сути о тех или иных част-
6 В.И. Юдович. Математические модели естествознания
ных моделях математической физики. Естественнонаучная и технологическая специфика рассматриваемых проблем зачастую отражается довольно слабо. Недавно мне довелось участвовать в конференции по математическим моделям, описывающим плавающие живые организмы (biological swimmers, биологических пловцов, как образно выражается один из авторитетов в этой области Джон Кесслер (John Kessler)). На этой конференции одни докладчики рассматривали микроорганизмы в воде, другие говорили о рыбах и дельфинах. Довольно забавным образом математические модели были при этом почти одни и те же. Специфику жизни до сих пор не удается уловить и вставить в математические формулы.
Обычно, математики, занимающиеся биологией, любят ссылаться на то, что их предмет много сложней, чем то, чем эанимаются физики. Так-то оно так, но в реальной жизни пока что задачи, которые решаются в математической физике и механике, как правило, куда сложнее и глубже, чем те, которые решают математические биологи. Может быть, когда-нибудь это положение изменится — когда математика по-настоящему глубоко проникнет в биологию. Один мой друг, математический биолог, отвечая на вопрос анкеты о недостатках исследований по математической биологии, написал: «Их всего два: слабое проникновение в биологическую сущность проблем и низкий математический уровень».
В этом курсе я пытаюсь изложить те общие принципы и подходы к построению моделей, которые явно или неявно, правильно или не совсем правильно, применяются во всех этих областях.
Возможно, главная трудность построения этого курса связана с тем, что в математическом моделировании применяется едва ли не весь математический аппарат, созданный математикой прошлого и создаваемый на наших глазах современной математикой. Между тем, в курсах, прослушанных (в обоих смыслах) студентами-математиками (и чистыми, и прикладными), многие важнейшие теории и факты даже не упоминаются. Например, наши студенты ничего не знают о дифференциальных формах, и даже когда читается курс топологии, некоторые лекторы ухитряются не упомянуть числа Бетти, когомологии, степень отображения, вращение векторного поля и т.п. В курсах алгебры зачастую даже не упоминаются унитарные, ортогональные, якобиевы трехдиагональные матрицы, не разъясняется толком понятие кратности собственного значения. Дело усугубляется тем, что книги по топологии (за редким и счастливым исключением) пишутся для топологов, книги по геометрии — соответственно, для геометров и т.д. В литературе ощущается острый дефицит учебных пособий по различным разделам математической теории, изложенным для последующего применения в прикладной науке. В итоге в ряде случаев мне приходится бегло, без детальных
Предисловие автора
доказательств, рассказывать об основных понятиях линейного и нелинейного функционального анализа, методах спектральной теории операторов, вариационного исчисления, дифференциальных формах и т.д.
Изучение математики так или иначе начинается с освоения ее терминологии, словаря, набора определений. В современной математике вообще есть тенденция загонять все более значительную часть содержания в определения. Доказательства теорем при этом зачастую становятся короткими и тривиальными и дают не слишком много пищи для ума. В этих лекциях по ходу изложения поясняются математические термины, даются краткие определения основных понятий. Иногда они будут новыми для студента, а иногда их приходится приводить ради определенности, ввиду существующего ужасного разнобоя в употреблении слов. Один пример: некоторым лекторам кажется, что у понятия «отображение», «оператор» мало синонимов, и они добавляют еще один синоним — «функция». Лучше, по-старому, понимать функцию как отображение со значениями на вещественной оси. Синонимом служит слово «функционал», которое чаще употребляется, когда область определения — бесконечномерное пространство.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕМОДЕЛИ
1. Динамические системы
Под эволюцией той или иной системы будем понимать изменение ее состояния во времени. Первый вопрос, который возникает, когда мы приступаем к построению математической модели: что такое состояние данной системы? Это может быть скаляр, точка многомерного пространства, вектор, а вообще, элемент любого множества X, которое называется фазовым пространством данной системы.
Правильный выбор фазового пространства, соответствующего изучаемой системе, отнюдь не тривиален и в значительной мере предопределяет наш конечный успех (или неуспех). Дело в том, что к выбору фазового пространства предъявляются достаточно суровые требования. Главное из них состоит в том, что задание начального состояния, т.е. точки x0 ∈ X, должно однозначно определять эволюцию системы. В самом сильном варианте требуется, чтобы для каждого t ∈ R было определено состояние системы x(t) ∈ X. Это означает, что должен быть задан эволюционный оператор
Nt : X → X, отображающий фазовое пространство X в себя, и такой, что
x(t) = Ntx0 (1.1)
для всех t ∈ R и любой начальной точки x0 ∈ X. Поскольку x(0) = x0 для всех xo ∈ X, эволюционный оператор очевидным образом удовлетворяет условию
N0 = I, (1.2)
где I — тождественный оператор: Ix = x для всех x ∈ X. Иногда его также обозначают id (от латинского слова idem — тот же). Как правило, необходимо еще наложить на эволюционный оператор Nt те или иные условия непрерывности по t, чтобы получалось, что Ntx0 → x0 при t → 0; понятие предельного перехода для последовательности элементов фазового пространства должно быть также определено.
Иногда эволюционный оператор удаётся задать лишь для t ≥ 0. В некоторых случаях даже приходится рассматривать эволюционные операторы,
Динамические системы
определенные на интервале (−r1,r2), где r1, r2 — некоторые положительные числа, а то и на полуинтервале [0,r2).
Фундаментальные математические модели физики обычно приводят к эволюционным операторам, обладающим дополнительным свойством, которое называется (на мой вкус, чересчур пышно) принципом причинности:
Nt+s = Nt ◦ Ns (1.3)
для всех t,s ∈ R. В частности, из (1.3) следует, что для каждого t эволюционный оператор обратим, и (Nt)−1 = N−t. Ясно также, что если уже известно состояние x(s) в момент s, то, по прошествии времени t, состояние определяется равенством x(t + s) = Ntx(s).
Принцип причинности, выражаемый равенствами (1.2) и (1.3), означает, что семейство операторов Nt есть однопараметрическая группа с параметром t. Эта группа очевидно коммутативна: Nt ◦ Ns = Ns ◦ Nt.
Во многих задачах (например, для уравнения теплопроводности) эволюционный оператор определен лишь для t ≥ 0. Тогда и принцип причинности (1.3) выполняется лишь для t,s ≥ 0. В этом случае семейство эволюционных операторов Nt образует однопараметрическую полугруппу, тоже коммутативную.
Замечу, что иногда и в случае полугрупп равенство (1.3) удается доказать, но, вообще говоря, не для всех, а лишь для некоторых пар t,s таких, что, например, t > 0, а s < 0. Но во всяком случае нужно предположить, что t + s ≥ 0.
Фазовые пространства, встречающиеся в приложениях, весьма разнообразны. Это может быть конечное или счетное множество, конечномерное или бесконечномерное банахово пространство, скажем, то или иное пространство функций, вектор-функций или векторных полей, конечномерное или бесконечномерное дифференцируемое многообразие. Дальше я приведу много примеров, но сразу замечу, что в целом ряде областей физики и механики сплошных сред, в гидродинамике и теории поля (уж не говоря о биологии) до сих пор неизвестно, как правильно, адекватно выбрать фазовое пространство.
Кроме того, зачастую выбор фазового пространства неоднозначен — одно и то же явление может быть описано различными наборами переменных, а если даже переменные уже выбраны, то отчасти от нашего произвола зависит, какие на них налагаются дополнительные требования. Например, если фазовое пространство состоит из функций (поле температуры в области, занятой проводником тепла), то можно еще по-разному выбирать метрики или банаховы нормы. В частности, такой выбор определяет требо-