Математические модели естествознания (стр. 25 из 64)
q¯n−r+1 = 0, q¯n−r+2 = 0, ..., q¯n = 0. (13.11)
Грубо говоря, можно просто положить q¯n−r+1 = Φ1(q1,...,qn), ..., q¯n = Φr(q1,...,qn). (13.12)
При этом, сдвигая начало координат, можно считать, что точке q0 соответствует точка q¯0 = 0.
Для точек на конфигурационном пространстве X мы будем иметь выражения q1 = Q1(¯q1,...,q¯n−r), ..., qn = Qn(¯q1,...,q¯n−r). (13.13)
Теперь ясно, что положение системы полностью определяется заданием точки q¯= (¯q1,...,q¯n−r) в некоторой окрестности нуля пространства Rn−r. Если лагранжиан системы L = L(q,q,t˙ ) задан, то его можно теперь выразить через переменные q¯1,...,q¯n−r, q¯˙1,...,q¯˙n−r. Таким образом, мы избавляемся от связей и можем теперь описывать движение системы обычными уравнениями Лагранжа 2-го рода. К сожалению, это верно до тех пор, пока система не выйдет из координатной окрестности точки q0. Если же это произойдет, то придется вводить новую систему координат в окрестности иной точки, скажем, q1 ∈ X. Лишь в редких случаях удается определить глобально, на всем пространстве X, такие координаты, что уравнения связей выполняются тождественно. Поэтому в общей теории мы вынуждены рассматривать локальные системы координат и переходить от одной локальной системы координат к другой, опять-таки локальной системе координат.
Конечно, такой общий метод при решении конкретных задач больше подходит для компьютера, чем для человека. Вместе с тем, должен заметить, что на сегодня соответствующие вычислительные процедуры очень слабо развиты. Создание алгоритмов и программ для решения уравнений со связями остается одной из весьма актуальных проблем вычислительной математики и математической физики.
Так или иначе, исследование и общих, и конкретных систем со связями можно и следует проводить сначала (и настолько далеко, насколько это возможно), не вводя координат и не исключая связей.
Принцип Гамильтона для систем со связями
Рассмотрим механическую систему, заданную лагранжианом L = L(q,q,t˙ ), где q ∈ D ⊂ Rn, q˙ ∈ Rn, и подчиненную идеальным голономным связям
Φ1(q,t) = 0, ..., Φr(q,t) = 0. (13.14)
Здесь мы разрешаем функциям Φj зависеть от времени. Для произвольных моментов времени t1 < t2 определим, как и раньше, действие S, полагая
t2
Z
| S = L(q,q,t˙ )dt. t1 Принцип Гамильтона по-прежнему записывается в виде | (13.15) |
| δS = 0, | (13.16) |
однако на деформации и вариации необходимо наложить дополнительные условия согласованности со связями. Объясню это подробнее.
Пусть q(t) — истинное движение системы. Определим его деформацию q˜ = q˜(t,ε), сохраняя прежние условия и добавляя к ним лишь требование совместности со связями (13.14):
Φ1(q˜(t,ε),t) = 0, ..., Φr(q˜(t,ε),t) = 0 (13.17)
для всех t и малых ε. Напомню прежние требования к деформации q˜(t,ε). Это должна быть гладкая вектор-функция от времени t (скажем, на некотором интервале, содержащем (t1,t2)) и от ε в некоторой окрестности точки ε = 0 в R. При ε = 0 должно получаться истинное движение: q˜(t,0) = q(t). Как обычно, в принципе Гамильтона начальное и конечное положения системы должны сохраняться:
q˜(t1,ε) = q(t1), q˜(t2,ε) = q(t2) (13.18)
для всех малых ε. Варьирование, вычисление вариации по-прежнему означает применение операции
(13.19)Равенство (13.16), так же, как и раньше, приводит к соотношению
. (13.20)Теперь, однако, оно выполняется не для всех вариаций δq, удовлетворяющих условиям
, а лишь для вариаций δq, удовлетворяющих дополнительным условиям, получаемым варьированием связей (13.14). Дифференцируя равенства (13.17) по ε при ε = 0, получаем эти условия в видеgrad Φj(q,t) · δq = 0, j = 1,...,r. (13.21)
Поскольку t1 и t2 произвольны, из (13.20) следует равенство
(13.22)в каждый момент времени t. Равенства (13.21) говорят нам, что вариация δq ортогональна к подпространству Y , порождаемому векторами grad Φj,
j = 1,...,r, а равенство (13.22) означает, что
ортогонально к δq, а значит, лежит в подпространстве Y . Поскольку векторы grad Φj образуют базис в Y , имеем
grad Φj. (13.23)Здесь скалярные функции λj(t), называемые множителями Лагранжа, суть коэффициенты в разложении по базису левой части уравнения (13.23). Мы получили уравнение движения в форме уравнений Лагранжа 1-го рода. Их нужно решать совместно с уравнениями связей (13.14).
Задача Коши для уравнений Лагранжа 1-го рода состоит в том, чтобы найти решение системы (13.14), (13.23) с начальными условиями
. (13.24)Здесь следует иметь в виду, что начальная скорость q˙0 должна быть подчинена условиям, налагаемым связями (13.14). Эти условия мы получим, подставляя q(t) в (13.14) и дифференцируя по t при t = t0. Они имеют вид
. (13.25)В частном случае натуральной системы с нулевой потенциальной энергией и кинетической энергией
уравнения (13.23) совпадают с уравнениями (13.7). Уравнения 2-го рода, которые мы рассматривали раньше, получаются, когда нет связей. Сила принципа Гамильтона и вытекающих из него уравнений Лагранжа 2-го рода как раз в том и состоит, что их форма инвариантна, не зависит, по существу, от выбора координат. На практике, при переходе к новой системе координат, нужно лишь сделать соответствующую замену переменных в лагранжиане.Замечу еще, что нередко нам удается исключить лишь часть наложенных на систему связей, так что может существовать много различных форм уравнений Лагранжа 1-го рода для движений одной и той же системы.
В заключение сформулируем принцип Гамильтона для систем со связями.
Для механической системы с лагранжианом L = L(q,q,t˙ ), подчиненной идеальным голономным связям (13.14), действие по Гамильтону, определенное равенством (13.15), принимает экстремальное (при малых t2 − t1 — минимальное) значение для истинного движения, по сравнению с виртуальными движениями, подчиненными связям(13.14)исохраняющиминачальноеиконечноеположениясистемы.
14. Принцип наименьшего действия Мопертюи
(Мопертюи–Эйлера–Лагранжа–Якоби)
Принцип Мопертюи, усовершенствованный Эйлером и Лагранжем и представленный в наиболее удобной форме Якоби, исторически был пер-
вым вариационным принципом механики. Как и принцип Гамильтона, он относится к классу интегральных вариационных принципов. Как и в случае принципа Гамильтона, речь в нем следует скорее вести об экстремуме, а минимум достигается лишь локально. Как и принцип Гамильтона, принцип Мопертюи благополучно пережил революцию в физике начала XX века. Пожалуй, он применяется реже, чем принцип Гамильтона. Вообще, скорее принцип Гамильтона, а не принцип Мопертюи, как полагал его автор, является всеобщим принципом физики. Оказалось, однако, что в теории относительности принцип Мопертюи, в отличие от принципа Гамильтона, способен описать движение фотонов — частиц нулевой массы покоя, движущихся со скоростью света. Хочется все же нарушить традицию, о которой писал Якоби (см. 10 с.), и попытаться дать ясное изложение этого принципа, который особенно тесно связывает классическую механику с дифференциальной геометрией и оптикой.
Здесь я ограничусь случаем натуральных механических систем. Будем рассматривать такую систему как материальную точку, движущуюся в евклидовом пространстве H = Rn; фактически последующие рассмотрения, по крайней мере, на формальном уровне переносятся и на системы с бесконечным числом степеней свободы. Кинетическая энергия натуральной системы выражается в виде
. (14.1)Здесь M — положительно определенный оператор, оператор инерции данной системы. Если в H = Rn зафиксировать естественный базис, то можно отождествлять линейные операторы с их матрицами и считать, что M = (mik)ni,k=1. Тогда кинетическая энергия записывается в виде