Математические модели естествознания (стр. 60 из 64)

Оказывается, невозможно так определить банахову норму, чтобы сходимость по этой норме совпадала с введенной только что равномерной сходимостью на компактах. Можно однако ввести метрику, определяющую такой тип сходимости. Для этого достаточно положить

. (A.3)

Здесь B_k — круг радиуса k с центром в точке (0,0), так что B_k = {(x,t) : x² + t² ≤ k²}. Для любой непрерывной функции f норма в C(B_k) определяется равенством

. (A.4)

Вам станет понятно, откуда взялся ряд (A.3), если Вы припомните определение метрики в пространстве всевозможных последовательностей S (см.

[23]).

Нетрудно установить (установите!), что введенная равенством (A.3) метрика превращает пространство C(R²) в полное метрическое пространство.

Замечу, что дальнейшее использование пространства C(R²) относится скорее к красивому оформлению, нежели к сути идеи Орлича.

Множество уравнений с точками неединственности. Рассмотрим множество M ⊂ C(R²), состоящее из таких функций f, что задача Коши (A.1), (A.2) хотя бы для одной точки (x₀,t₀) ∈ R² имеет более одного решения. Такую точку (x₀,t₀) назовем точкой неединственности. Понятно, что дополнение C(R²) \ M состоит из таких функций f, что задача (A.1), (A.2) для всех точек (x₀,t₀) имеет единственное решение.

Для любой точки (x₀,t₀) ∈ R² и пары положительных чисел τ и a определим множество M(x₀,t₀,τ,a) ⊂ C(R²), состоящее из таких функций f(x,t), что в круге B₁(x₀,t₀) радиуса 1 с центром (x₀,t₀) уравнение (A.1) имеет хотя бы одну точку неединственности, скажем, (x˜₀,t˜₀), и при этом выполняются следующие условия:

1) Существуют два решения x(t) и x_∗(t) уравнения x˙ = f(x,t), удовлетворяющие одному и тому же начальному условию x(t˜₀) = x˜₀, x_∗(t˜₀) = x˜₀; при этом оба решения определены (по крайней мере) на интервале (t˜₀ − τ,t˜₀ + τ), см. Рис. 17.

Рис. 17

2) Решения x(t) и x_∗(t) подчинены неравенствам

|x(t) − x0| ≤ 1, |x∗(t) − x0| < 1 для всех t ∈ (t˜0 − τ,t˜0 + τ). 3) Выполнена оценка снизу	(A.5)
sup |x(t) − x∗(t)| ≥ a.	(A.6)

t˜₀−τ<t<t˜₀+τ

Доказательство теоремы Орлича основывается на следующих двух леммах.

Лемма 1. Множество M(x₀,t₀,τ,a) при любом выборе точки (x₀,t₀) в R² и положительных чисел τ и a замкнуто в C(R²). Доказательство. Суть дела, конечно в том, что все условия, определяющие множество M(x₀,t₀,τ,a), выдерживают предельный переход в пространстве C(R²). Главным является условие (A.6), которое обеспечивает сохранение неединственности при этом предельном переходе. Небольшая техническая трудность связана с тем, что сама точка неединственности предельного уравнения заранее не определена.

Итак, пусть дана последовательность функций f_n ∈ M(x₀,t₀,τ,a), которая сходится к некоторой функции f ∈ C(R²) в смысле метрики (A.3). Мы должны доказать, что f ∈ M(x₀,t₀,τ,a).

Согласно определению множества M(x₀,t₀,τ,a), для любого n = 1,2,... определена пара решений

задачи Коши с начальной точкой

. (A.7)

Здесь

— та самая точка неединственности, которая в общем определении обозначена через x˜₀,t˜₀. При этом оба решения определены на интервале , и, согласно (A.6), выполняются неравенства

, (A.8)

(A.9)

Поскольку все точки неединственности расположены в единичном круге B₁(x₀,t₀), а этот (замкнутый) круг компактен, можно выбрать такую подпоследовательность индексов n_k, что соответствующие точки неединственности

сходятся к некоторой предельной точке .

Ради краткости будем считать, что этот переход к подпоследовательности уже проделан, так что

.

Теперь наша цель — доказать, что возможно так выбрать подпоследовательность значений индекса n, что соответствующие подпоследовательности решений xⁿ(t) и xⁿ_∗(t) будут сходиться соответственно к некоторым решениям

равномерно на любом сегменте, содержащемся в интервале . Определим подпоследовательность сегментов , где , m = 1,2,.... Очевидно, что достаточно доказать равномерную сходимость на каждом из сегментов I_m, так как любой сегмент, содержащийся в интервале , содержится в каждом сегменте I_m, начиная с некоторого значения m.

Рассмотрим, например, последовательность функций xⁿ(t) (с решениями

все аналогично) и докажем, что эта последовательность компактна в C(I_m) — в пространстве функций непрерывных на сегменте I_m. Точнее было бы сказать, что речь идет о сужении каждой из функций на сегмент I_m. Для этого, конечно, надо потребовать, чтобы сегмент I_m содержался в интервале задания решения xⁿ(t). Это верно, возможно, не для всех n, но для всех n, начиная с некоторого, такие значения n и будем рассматривать.

Согласно критерию Арцела (см. [23]), достаточно установить, что последовательность функций xⁿ(t) на I_m равномерно ограничена и равностепенно непрерывна. Равномерная ограниченность непосредственно следует из определения множества M(x₀,t₀,τ,a): из (A.8) вытекает, что |xⁿ(t)| ≤ |x₀|+1 для всех n и для всех t. Для доказательства равностепенной непрерывности, как известно, достаточно установить равномерную ограниченность последовательности производных x˙ⁿ(t) на сегменте I_m. Но из уравнения (A.7), которому удовлетворяет xⁿ(t), следует оценка

, (A.10)

где Π_m — прямоугольник на плоскости R²: Π_m = J₀ × I_m, причем J₀ = [x₀ − 1,x₀ + 1].

Действительно, движущаяся точка xⁿ(t) при t ∈ I_m не выходит из прямоугольника Π_m, согласно неравенству (A.8). Поскольку f_n сходится к f равномерно на Π_m (как и на любом компакте), правая часть в (A.10) ограничена (m — фиксировано) величиной max|f(x,t)| + δ, где δ > 0 — Πm

произвольно фиксировано, равномерно по n для n ≥ N_δ. Здесь число N_δ определяется по заданному δ.

Таким образом, мы проверили условия критерия Арцела и можем утверждать, что последовательность xⁿ(t) компактна в C(I_m).

Теперь выберем из последовательности xⁿ(t) подпоследовательность, равномерно сходящуюся на сегменте I₁. Из этой подпоследовательности выберем подпоследовательность, сходящуюся на сегменте I₂. Продолжая этот процесс неограниченно и применяя диагональную процедуру Георга Кантора, мы получим подпоследовательность последовательности функций xⁿ(t), которая равномерно сходится на каждом сегменте I_m (m = 1,2,...), а значит, вообще на любом сегменте, содержащемся в интервале

. Итак, существует предельная функция x^∞(t), заданная и непрерывная на всем интервале . Аналогично последовательность сходится к непрерывной функции на том же интервале.