Математические модели естествознания (стр. 47 из 64)

Из теоремы Пуанкаре вытекает важное следствие, которое применяется, пожалуй, чаще, чем сама теорема.

Следствие 1. В условиях теоремы 1 существует последовательность натуральных чисел n₁, n₂,..., стремящаяся к бесконечности (n_k → +∞), такая что

µ(T^nkE ∩ E) > 0. (23.10)

Доказательство. Пусть N — натуральное число. Применим теорему 1 к отображению T^N : X → X, которое, конечно, тоже сохраняет меру µ. Получится, что для некоторой его степени T^Nk

µ(T^NkE ∩ E) > 0. (23.11)

Положим n₁ = Nk. Повторим это рассуждение с заменой N на n₁. Тогда получится, что пересечение множества T^{n1 k1}E = T^Nkk1E с E имеет положительную меру. Положим n₂ = Nkk₁. Продолжая аналогично, мы построим последовательность n₁ < n₂ < ... < n_k < ... такую, что выполняется (23.10).

Согласно этому следствию, «возвращение» (частичное) множества E будет происходить бесконечно много раз, при сколь угодно больших значениях дискретного времени n.

Теорема 2 (теорема Пуанкаре о возвращении точек). Пусть E — измеримое множество в пространстве с мерой (X,Σ,µ), и преобразование T : X → X сохраняет меру µ. Предположим, что мера µ конечна: µ(X) < +∞. Тогда для почти любой точки x ∈ E найдется натуральное число n = n(x) такое, что Tⁿx ∈ E.

Доказательство. Напомню, что выражение «почти любая» означает, что множество исключительных точек имеет меру ноль. Более точное выражение: µ-почти любая. Хотя формально мы не обязаны вводить в условия теоремы требование, чтобы мера множества E была положительна, ясно, что случай µ(E) = 0 бессодержателен — все множество E может тогда быть исключительным. Таким образом, дальше можно считать, что µ(E) > 0.

Построим подмножество F ⊂ E, состоящее из исключительных точек. Обозначим дополнение X&bsol;E через E⁰. Тогда T⁻¹E⁰ есть множество точек, которые не попадают в E после однократного применения преобразования T (после одного шага итераций), T⁻²E⁰ — множество точек, не попадающих в E после двух шагов, ..., T⁻ⁿE⁰ — после n шагов, и т. д. Ясно, что множество

F = E ∩ T⁻¹E⁰ ∩ ... ∩ T⁻ⁿE⁰ ∩ ...

есть множество точек множества E, не возвращающихся в E никогда.

Множества F и T⁻ⁿF не пересекаются при любом натуральном n. Действительно, если x ∈ F ∩ T⁻ⁿF, то Tⁿx ∈ F ⊂ E, то есть точка x возвращалась бы, в противоречии с определением множества F.

Теперь мы можем установить, что множества F, T⁻¹F, ..., T⁻ⁿF,... попарно не пересекаются. Действительно, T^−kF ∩ T⁻ⁿF = T^−k(F ∩ T^−(n−k)F), когда, например, n > k. Понятно, что образ пустого множества (при отображении T^−k) пуст.

Построена последовательность непересекающихся множеств F, T⁻¹F ..., T⁻ⁿF,..., имеющих одну и ту же меру: µ(T⁻ⁿF) = µ(F). Как мы уже видели, ввиду конечности меры µ, это возможно лишь в случае µ(F) = 0. Теорема доказана.

Следствие 2. Для почти любого x ∈ E существует бесконечная последовательность натуральных чисел n₁, n₂,... такая, что n_k → ∞ и T^nkx ∈ E.

Доказательство. Доказательство проводится, по сути, так же, как и в случае теоремы о возвращении множеств. Проведите его сами. Заметьте лишь, что когда мы говорим «почти для всех точек», то каждый раз приходится иметь в виду различные множества меры ноль. Но счетное объединение множеств меры ноль (вот она — σ-аддитивность!) есть множество меры ноль.

24 Гидродинамическая интерпретация систем дифференциальных

уравнений и теорема Лиувилля 205

В приложениях к механике мы можем выбрать в качестве множества E сколь угодно малую окрестность (любого!) заданного состояния в фазовом пространстве. Получится, что в будущем система много раз будет возвращаться в эту — сколь угодно малую окрестность. Представим себе, например, что рассматриваемая механическая система есть совокупность молекул воздуха в этой аудитории. Выберем состояние, в котором весь воздух сосредоточился вблизи одного угла, а остальная часть аудитории — вакуум. Выходит, время от времени весь воздух в этой комнате будет собираться вблизи угла (если бы однажды было создано такое состояние). Всем, кто находится далеко от этого угла, придется плохо.

Сейчас это уже трудно себе представить, но в конце XIX века многие выдающиеся ученые сильно сомневались в существовании атомов. Примеры вроде нашего примера с воздухом считались сильными возражениями против статистической теории газов. Конечно, никто еще не видел, чтобы весь воздух собрался в одной части комнаты. Людвиг Больцман, внесший огромный вклад в развитие этой теории, на подобные возражения ответил очень коротко: «Долго же вам придется ждать!» И в самом деле, современные оценки показывают, что подобное явление очень мало вероятно, вероятное время его ожидания составляет много миллиардов лет, что превосходит время существования Вселенной. Философы спорят, считать ли такие явления возможными, но мало вероятными, или попросту объявить их невозможными. На практике мы конечно, считаем их невозможными, во всяком случае, действуем, не принимая такие «возможности» во внимание.

24. Гидродинамическая интерпретация систем дифференциальных уравнений и теорема Лиувилля

Рассмотрим дифференциальное уравнение в Rⁿ

x˙ = v(x,t). (24.1)

Предположим, чтобы не отвлекаться от главного, что задача Коши для уравнения (24.1) с начальным условием

x(0) = a (24.2)

глобально однозначно разрешима: для любого a ∈ Rⁿ задача Коши (24.1)– (24.2) имеет, и притом единственное, решение x = x(a,t), определенное для всех t ∈ R. Кроме того, будем предполагать, что поле v гладко зависит от x и от t.

В этих условиях эволюционный оператор N^t : Rⁿ → Rⁿ определен для всех t ^∈ R, a ^∈ Rⁿ, так что

x(a,t) = N^ta. (24.3)

Для неавтономного уравнения (24.1) оператор N^t зависит, конечно, от выбора начального момента, но здесь мы не собираемся его менять.

Представим себе, что пространство Rⁿ заполнено некоторой жидкостью. Решение x(a,t) будем трактовать как движение жидкой частицы, которая в момент времени t = 0 находилась в точке a. Векторное поле v(x,t) приобретает смысл скорости той жидкой частицы, которая в момент t находится в точке x ^∈ Rⁿ.

В гидродинамике применяются два подхода к описанию движений жидкости. В первом из них, который называется эйлеровым, изучается эволюция поля скорости v(x,t) течения жидкости. Второй подход называется лагранжевым и состоит в описании движения жидкой частицы x(a,t). Названия эти условны — Эйлер знал оба подхода. Эйлерово и лагранжево описания течения жидкости связаны между собой посредством задачи Коши (24.1)–(24.2). Если известно поле скорости v(x,t), то чтобы найти движение частиц x(a,t), нужно решить задачу Коши (24.1)–(24.2) для всех a. Если известно движение x(a,t) любой частицы, то поле скорости v(x,t) определяется как x˙(a,t), где a выражено через x, так что

v(X,t) = x˙(a(X,t),t), (24.4)

где a = a(X,t) находится из уравнения x(a,t) = X для любого X ∈ Rⁿ.

Уравнение неразрывности — уравнение Лиувилля

Изложенная гидродинамическая интерпретация задачи Коши (24.1)– (24.2) вызывает к жизни новые вопросы. Теперь начальное значение a не будет фиксированным, мы будем заниматься всей совокупностью задач Коши, рассматривая a как новую векторную переменную. Как Вам известно из курса обыкновенных дифференциальных уравнений, в случае гладкого поля v(x,t) вектор-функция x(a,t) гладко зависит от a ∈ Rⁿ и от t ∈ R.

Зная, как двигаются жидкие частицы, мы можем проследить и за эволюцией областей, состоящих из одних и тех же частиц. Если D — некоторая область в Rⁿ, то составляющие ее при t = 0 жидкие частицы в момент t занимают объем D_t = N^t(D). Представим себе, что при t = 0 задана плотность ρ₀(a) рассматриваемой жидкости. Поставим вопрос о том, как найти плотность жидкости ρ(x,t) в момент t в предположении, что выполняется

Рис. 13

закон сохранения массы. К решению этого вопроса можно применить как эйлеров подход, так и лагранжев.

Лагранжев подход. В лагранжевой форме закон сохранения масс записывается в виде

ρ(x,t)dx = ρ₀(a)da. (24.5)

Это дифференциальная форма закона. Если вспомнить формулу преобразования объемных интегралов при замене переменных, придем к формуле

(24.6)