Математические модели естествознания (стр. 4 из 64)
, (2.6)справедливое для всех x0 ∈ Rn. Но это значит, что x0 можно опустить и записать равенство для операторов
. (2.7)В.И. Юдович. Математические модели естественных наук
Справа стоит композиция операторов F и Nt:
.Разумеется, существование производной по времени в (2.6) предполагается.
Оператор Nt обратим, и его обратный есть (Nt)−1 = N−t. «Умножая» равенство (2.7) на N−t справа, выводим
. (2.8)Это значит, что для любого x ∈ Rn
(2.9)Остается еще заметить, что левая часть здесь от t не зависит, значит, не зависит от t и правая часть. Таким образом, можно положить, например, справа t = 0. Получается выражение для векторного поля F через эволюционный оператор Nt
(2.10)для любого x ∈ Rn.
В случае линейного пространства, каковым является Rn, векторы естественным образом отождествляются с точками, а векторные поля с отображениями, поэтому можно считать, что F — оператор, действующий в Rn. Оператор (векторное поле) F, определяемый равенством (2.10), называется генератором или инфинитезимальным оператором однопараметрической группы {Nt}.
Мы видим, что даже гладкое векторное поле F может и не определять эволюционный оператор (если нет глобальной разрешимости), но если уж определяет, то однозначно — теорема единственности решения задачи Коши, конечно, имеет место для гладких векторных полей. С другой стороны, задание эволюционного оператора однозначно определяет его генератор — векторное поле F.
Значение дифференциальных уравнений, для которых нет единственности решения задачи Коши, в естествознании пока неясно. Иногда (как в задаче об ударных волнах в газе) неединственность просто означает, что мы пропустили некоторые условия. После того, как эти условия введены
3 О глобальной разрешимости задачи Коши и единственности решения
(в задаче об ударных волнах это условие Ренкина-Гюгонио на скачке), отбирается уже единственное решение. Встречается и такая ситуация, когда единственности решения задачи Коши нет при некоторых начальных данных, а при других она, возможно, есть.
Пожалуй, в задачах естествознания мы еще не встречались с эволюционными задачами, для которых нет единственности решения. Исключительные, и до сих пор не преодоленные, трудности в доказательстве единственности решения основных начально-краевых задач гидродинамики несжимаемой жидкости привели довольно многих исследователей к гипотезе о том, что теорема единственности здесь и не справедлива. Лично я в это не верю, и много лет выдерживаю споры по этому вопросу с другими математиками. Но допустим, что в какой-нибудь задаче естествознания такая ситуация встретится. Что бы это могло означать? Необходимость перехода к вероятностному описанию? Признание за системой некоторой свободы воли? Будущее покажет. Я думаю, действительно, покажет, потому что такие системы, наверное, еще появятся в математической физике. Так уже не раз бывало, что математические абстракции и (кажущиеся) патологии реализовывались в физике. Пример тому — канторовы множества, которые Георг Кантор ввел в своих весьма абстрактных исследованиях первоначально лишь для того, чтобы глубже понять взаимоотношение между такими понятиями, как мощность и мера множества. А в настоящее время канторовы множества появляются, например, едва ли не в каждой статье журнала “Physica D”.
3. О глобальной разрешимости задачи Коши и
единственности решения
Сейчас я собираюсь напомнить некоторые основные результаты из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы особо сконцентрируем внимание на результатах, касающихся теорем единственности и существования решения задачи Коши, которые в общем Вам известны, но, возможно, оставались в тени. Замечу сразу, что положение с теоремами существования и единственности решения задачи Коши далеко не так благополучно, как это может показаться при чтении учебника.
Речь пойдет о задаче Коши для векторного дифференциального уравнения
x˙ = F(x,t) (3.1)
в пространстве Rn с начальным условием
. (3.2)Уравнение (3.1) можно записать в виде системы n скалярных уравнений, а начальное условие (3.2) — в виде n скалярных равенств. Когда выбран стандартный базис e1 = (1,0,...,0), e2 = (0,1,...,0),...,en =
| (0,0,...,1), эта система принимает вид x˙1 = f1(x1,x2,...,xn,t), | |
| x˙2 = f2(x1,x2,...,xn,t), ... x˙n = fn(x1,x2,...,xn,t), | (3.3) |
где f1,f2,...,fn — компоненты векторного поля F, зависящего от времени.
Обычно предполагается, что поле F непрерывно по совокупности переменных x,t в некоторой области пространства Rn ×R = Rn+1, для краткости будем дальше предполагать, что поле F задано на всем пространстве Rn+1, т.е. для всех x ∈ Rn и t ∈ R.
Замечу, что определение производной x˙ по скалярному аргументу не требует привлечения базиса. Для любого банахова пространства X производная x˙(t) от вектор-функции x скалярного аргумента t ∈ R по t определяется равенством:
. (3.4)Предел в этом равенстве, вообще говоря, можно понимать по-разному — возможны различные определения производной. Если это предел по норме пространства X, получается сильная производная. В конечномерном случае все нормы эквивалентны, так что понятие сильной производной не зависит от выбора нормы, например, ее можно считать евклидовой. Если рассматривать слабую сходимость, получится понятие слабой производной; имеется даже, вообще говоря, два типа слабой сходимости. В конечномерном случае все эти виды сходимости совпадают — имеется по существу лишь одно понятие сходимости последовательности элементов и, соответственно, лишь одно понятие производной. Замечу еще, что при выбранном базисе сходимость в конечномерном пространстве есть покоординатная сходимость (должна сходиться последовательность первых координат, последовательность вторых координат и т.д.); к тому же понятие сходимости в конечномерном пространстве не зависит и от выбора базиса.
Общие теоремы существования решения задачи Коши (3.1)–(3.2) носят локальный характер. Это означает, что гарантируется лишь существование решения, определенного на некотором интервале (r1,r2), где r1 < 0, r2 > 0, содержащем начальный момент t = 0. Никак нельзя забывать (многие все-таки забывают ...), что по самому своему определению, решение дифференциального уравнения есть вектор-функция со значениями в X, определенная на интервале (именно на интервале, а не на каком-либо ином множестве!) (r1,r2), где −∞ ≤ r1 < 0 и r1 < r2 ≤ +∞. Как раз случай, когда r1 = −∞ и r2 = +∞ — самый хороший, это случай глобальной разрешимости.
Теорема Пеано. Пусть X — конечномерное банахово пространство, и F — непрерывная вектор-функция со значениями в X. Тогда для любого x0 ∈ X существует, по крайней мере, одно решение задачи Коши (3.1)–(3.2), определенное на некотором интервале
(r1,r2).
Разумеется, r1 и r2 зависят от поля F, от выбора начального момента времени (вместо t = 0 можно было бы написать t = t0) и от начального значения x0.
В условиях этой теоремы единственность решения нельзя гарантировать — даже в простейшем случае одного скалярного дифференциального уравнения нетрудно привести примеры неединственности. Классический√
пример: x˙ = 3 x, x(0) = 0.
Интересно еще поставить вопрос о том, насколько типична неединственность. Пример автономного скалярного дифференциального уравнения x˙ = f(x) оказывается здесь дезориентирующим. Для этого уравнения задача
Коши
в случае, когда f(x0) 6= 0, имеет единственное решение при одном лишь условии непрерывности функции f. Вместе с тем, при f(x0) = 0 определенные условия регулярности — условие Липшица или условие Осгуда (см. ниже) — оказываются по сути необходимыми. Весьма неожиданным было открытие польского математика Владислава Орлича, который установил, что и для скалярного неавтономного уравнения x˙ = f(x,t) с непрерывной функцией f и для векторного дифференциального уравнения (3.1) типична единственность. В пространстве всевозможных непрерывных на всей плоскости (x,t) функций f множество тех функций, для которых имеется хотя бы одна точка неединственности (x0,t0), имеет первую категорию в пространстве непрерывных функций, заданных на плоскости. Сходимость последовательности fn(x,t) в этом пространстве определяется как равномерная сходимость на каждом компактном множестве плоскости R2 (x0 называется точкой неединственности, если задача Коши для данного уравнения с начальным условием x(t0) = x0 имеет более одного решения).