Математические модели естествознания (стр. 54 из 64)

В конкретных задачах обычно бывает проще, не используя эту формулу, непосредственно проверить, выполняется ли равенство grad S(x) = G(x).

Примеры градиентных систем

Следующий пример показывает, как естественно возникают градиентные системы в механике. Рассмотрим общее уравнение механики Ньютона с рэлеевской силой трения

Mx¨ = −grad V (x) − grad _vW(v), v = x,˙ (28.17)

где W — диссипативная функция Рэлея, а V — потенциальная энергия. Если на систему не действуют потенциальные внешние силы, так что V = const, а grad V (x) = 0, то для скорости v получится уравнение

Mv˙ = −grad _vW(v). (28.18)

При M = I уравнение (28.18) является градиентным и совпадает с (28.1), если положить S = −W. Однако и в общем случае положительно определенного оператора M уравнение (28.18) принимает градиентную форму, если ввести в пространстве H новую метрику со скалярным произведением (ξ,η)_M = (Mξ,η), см. (11.20):

v˙ = −grad _MW(v). (28.19)

Уравнение (28.18) обладает двумя функциями Ляпунова: диссипативной функцией W и кинетической энергией

. Справедливы

соотношения

, (28.20)

dW −(grad W)₂. (28.21)

= dt

Замечу, что выведенное нами ранее уравнение диссипации энергии для системы Навье–Стокса является, по сути, частным случаем уравнения (28.20). Для линеаризованного уравнения (с выброшенным слагаемым (v,∇)v) справедливо и уравнение, аналогичное (28.21). Проверить это будет для Вас хорошим упражнением.

Еще один важный пример градиентного уравнения дает уравнение теплопроводности в ограниченной области D ⊂ Rⁿ

(28.22)

где κ > 0 — коэффициент температуропроводности. Пусть на границе выполнено краевое условие первого рода

. (28.23)

Действительно, нетрудно проверить (обязательно проверьте!), что

κ∆u = Grad

. (28.24)

Здесь Grad означает функциональный градиент.

Равновесия градиентной системы и их устойчивость

Равновесия градиентного уравнения (28.1) определяются уравнением

grad S(x) = 0. (28.25)

Таким образом, равновесия уравнения (28.1) являются критическими точками потенциала S. Это по сути — вариационный принцип, полезный при исследовании и вычислении равновесий.

Если x — некоторое равновесие уравнения (28.1), то соответствующее линеаризованное уравнение имеет вид

u˙ = (grad S)⁰(x)u. (28.26)

В случае H = Rⁿ векторное уравнение (28.1) можно записать в координатной форме

(28.27)

Соответственно уравнение (28.26) записывается в виде

(28.28)

Здесь подразумевается суммирование по j = 1,...,n. Матрица этой системы

(28.29)

в случае C² –гладкой функции S симметрична. Поэтому все ее собственные значения вещественны и полупросты (являются простыми полюсами резольвенты (λI − A)⁻¹), так что присоединенные векторы отсутствуют, и жорданова нормальная форма оператора A диагональна. Общее решение системы (28.28) записывается в виде

, (28.30)

где c_k — произвольные постоянные, λ_k — вещественные собственные значения, а ϕ_k — отвечающие им собственные векторы: Aϕ_k = λ_kϕ_k.

Если все λ_k < 0, то равновесие x асимптотически устойчиво по линейному приближению. Теорема Ляпунова о законности линеаризации позволяет в этом случае установить асимптотическую устойчивость равновесия x и для полной системы (28.27). Нормальные моды — частные решения u_k(t) = e^λktϕ_k — в этом случае монотонно затухают со временем. Говорят, что равновесие x монотонно асимптотически устойчиво.

Симметричность линейного оператора A = (grad S)⁰(x) можно установить и не пользуясь координатами: приводимое ниже доказательство сохраняет силу и для непрерывных операторов grad S(x) с C² –гладким потенциалом S, в случае неограниченных операторов потребуются еще рассуждения об области определения оператора A.

Пусть x, u, v — произвольные элементы пространства H, а ε и µ — вещественные параметры. Рассмотрим вторую производную

εu + µv). Как и в случае функций, заданных на пространстве Rⁿ, эта производная при условии, что S ∈ C² (даже при несколько меньших ограничениях), не зависит от порядка дифференцирования по переменным ε, µ.

Вспоминая определение градиента (28.15), выводим

(grad S(x + εu),v) =

(28.31) = ((grad S)⁰(x)u,v) = (u,(grad S)⁰(x)v).

Последнее равенство получается, если сначала продифференцировать по ε, а затем по µ. Оно и означает, что A^∗ = A.

Заметим, что всякое равновесие градиентного уравнения (28.1) является также и равновесием уравнения (28.3) при условии (28.4). Действительно, умножая уравнение равновесий

grad S(x) + F(x) = 0 (28.32)

для уравнения (28.3) скалярно на grad S(x), с учетом условия (28.4) получаем, что |grad S(x)|² = 0. Таким образом, из уравнения (28.32) следует, что grad S(x) = 0. Обратное, вообще говоря, неверно (см. упражнение 1). Более того, может случиться, что у уравнения (28.32) вообще нет решений, тогда как уравнение grad S(x) = 0 имеет много решений.

Колебательная устойчивость и колебательная неустойчивость

Уже в самых простых случаях присутствие дополнительного слагаемого F в уравнении (28.3) может привести к появлению комплексных собственных значений в спектре линеаризованного на равновесии x оператора. Рассмотрим например уравнение (28.5), и пусть x — его равновесие, так что grad S(x) = 0. Линеаризованное на x уравнение имеет вид

u˙ = (I + A(x))(grad S)⁰(x)u. (28.33)

Для определения показателя σ нормальной моды u(t) = e^σtϕ имеем задачу на собственные значения

σϕ = (I + A(x))Bϕ, (28.34)

где B = (grad S)⁰(x) — симметричный оператор B = B^∗. Если, напри-

мер, , то grad S(x) = βx, и x = 0 — равновесие, которое единственно при _β 6= 0. Далее получаем (grad S)⁰(0) = βI, и уравнение (28.34) принимает вид

σϕ = β(I + A(x))ϕ. (28.35)

Предположим, что A(x) 6= 0. Как известно, спектр всякого ненулевого кососимметрического оператора в Rⁿ, скажем оператора A(x), состоит из некоторого количества пар чисто мнимых собственных значений ∓iω_k, ω_k > 0, k = 1,...,s и, быть может, собственного значения 0 кратности r (очевидно, 2s + r = n). Соответственно, спектр оператора β(I + A(x)) состоит из собственных значений , а также, возможно, точки β. Собственным значениям _σ^∓_k отвечают нормальные моды e^β(1∓ωk)t_ϕ^∓_k . Так как Re_σ^∓_k = β, все они затухают, если β < 0. Это случай колебательной устойчивости.