Математические модели естествознания (стр. 10 из 64)

Задача (4.18) есть, конечно, частный случай задачи (4.19) при A(t) = F_x(x(t),t). При этом U^t = (N^t)⁰(x₀).

Итак, мы доказали, что det(N^t)⁰(x₀) > 0 при всех t, а эволюционный оператор N^t сохраняет ориентацию.

Отсюда следует, что невозможно вложить в поток никакое отображение, которое хотя бы в одной точке меняет ориентацию пространства. Например, нельзя вложить в поток оператор зеркального отражения (см. выше).

Не удержусь от рассказа об одной проблеме, связанной с ориентацией. Вы, конечно, знаете, что современная физика еще не решила, конечна или бесконечна наша Вселенная. Ответ зависит от того, положительной или нулевой окажется средняя плотность материи во Вселенной. Между тем, точность современных измерений пока не позволяет прийти к определенному выводу. С этим связана и еще одна проблема. Если наше пространство конечно, и Вселенная представляет собой ограниченное многообразие, то встает вопрос об его ориентируемости или неориентируемости. Если оно неориентируемо, то, в принципе, это можно установить при помощи следующего эксперимента. Двигайтесь все время в одном и том же направлении, тогда рано или поздно (если Вселенная конечна) Вы вернетесь к своему начальному положению. Однако, если Вселенная неориентируема, то сердце при этом окажется у Вас справа, и нужно будет еще раз совершить тот же путь, чтобы возвратить его на положенное место. Пока такой эксперимент не проведен, вопрос об ориентируемости Вселенной остается открытым.

5. Интегралы и законы сохранения

Рассмотрим дифференциальное уравнение в Rⁿ (или вообще в банаховом пространстве X)

x˙ = F(x,t). (5.1)

Функции, определенные на фазовом пространстве X, называются также наблюдаемыми. Если известна наблюдаемая ϕ = ϕ(x,t), x ∈ X, t ∈ R, зависящая от времени, то можно и интересно подставить вместо x решение x(t) уравнения (5.1) и следить за изменением величины ϕ = ϕ(x(t),t).

Ограничиваясь пока случаем Rⁿ, найдем производную от этой функции по t. Дифференцируя по t и учитывая, что x(t) = (x₁(t),...,x_n(t)) — решение уравнения (5.1), получаем

. (5.2)

Здесь F_k — есть k-я компонента поля F, так что F = (F₁,F₂,...,F_n).

Глядя на эту формулу, нетрудно понять, что целесообразно ввести новое определение: производной по времени от функции ϕ(x,t) в силу заданного уравнения движения (5.1) называется функция _ϕ˙(x,t), определенная для всех x ∈ Rⁿ и t ∈ R₊ равенством

. (5.3)

Подчеркну, что здесь уже x не решение дифференциального уравнения, а просто произвольная точка фазового пространства Rⁿ. Сравнивая равенства (5.2) и (5.3), приходим к важной формуле

. (5.4)

Соль в том, что в формуле (5.4) присутствует одна и та же функция ϕ˙ для всех решений x(t). Если X — евклидово пространство, то определение (5.3) можно записать в виде

(5.5)

где ∇ϕ — градиент функции ϕ, и аргументы x,t опущены во всех слагаемых.

Теперь ограничим себя рассмотрением автономного уравнения в X

x˙ = F(x). (5.6)

Наблюдаемая ϕ(x) называется интегралом (или первым интегралом, или константой движения), если для любого решения x(t) уравнения (5.6) ϕ(x(t)) = C, где C — константа, зависящая от выбранного решения (движения) x(t). Если задано начальное условие x(t₀) = x₀, то константа C определяется: C = ϕ(x(t₀)) = ϕ(x₀).

Конечно, всегда имеются тривиальные интегралы, это постоянные наблюдаемые: ϕ(x) ≡ C, C = const.

Найти интеграл уравнения (5.6) бывает не так уж просто. Но проверить, является ли данная гладкая функция ϕ(x) интегралом, несложно. С учетом формулы (5.5) и определения интеграла, приходим к следующему заключению: для того, чтобы C¹ –гладкая функция была интегралом автономного уравнения (5.6), необходимо и достаточно, чтобы для всех x выполнялось уравнение

(F,∇ϕ) = 0. В случае Rn это равенство записывается в виде

(5.7)

. (5.8)

Интересно заметить, что на практике мы чаще всего находим сначала именно ∇ϕ так, чтобы выполнялось уравнение (5.7). Затем уже по данному ∇ϕ находится ϕ. Это дает повод ввести следующие определения.

Косимметрия. Векторное поле L = L(x) на евклидовом пространстве H называется косимметрией поля F на H, если для всех x ∈ H векторы F(x) и L(x) ортогональны:

(F(x),L(x)) = 0. (5.9)

Будем также говорить, что поле L = L(x) есть косимметрия дифференциального уравнения x˙ = F(x).

Векторное поле L(x) назовем голономным, если оно допускает представление в виде L(x) = gradϕ(x) с некоторой функцией ϕ(x) (приведите пример неголономного векторного поля).

Теперь предыдущее утверждение об интегралах можно сформулировать иначе.

Для того, чтобы функция ϕ была интегралом уравнения (5.6), необходимо и достаточно, чтобы векторное поле L(x) = gradϕ(x) было (голономной) косимметрией поля F(x).

Эта терминология была введена в 1991 году в моей заметке [55]. Оказалось (собственно, об этом и была написана заметка), что и неголономные косимметрии имеют важные приложения в теории дифференциальных уравнений и математической физике. Голономные косимметрии, конечно, постоянно мелькали в математической литературе в связи с интегралами, но обычно оставались в тени. В действительности, однако, отыскание интеграла, как правило, начинается именно с поиска соответствующей косимметрии.

Знание одного или нескольких нетривиальных интегралов уравнения (5.6) много дает для понимания динамики системы, а когда интегралов достаточно много, позволяет получить явные или почти явные формулы для решения.

Долгое время усилия математиков были направлены на поиск интегралов дифференциальных уравнений и систем в надежде найти явные решения. К успеху это привело лишь в сравнительно немногих случаях. Постепенно стало ясно, что у типичного дифференциального уравнения вообще нет ни одного нетривиального интеграла. В полном объеме эта гипотеза до сих пор не доказана, но, например, Пуанкаре (в конце XIX века) установил, что многие консервативные системы не имеют других нетривиальных интегралов, кроме интеграла энергии, о котором мы подробнее будем говорить дальше.

Кстати, одно из самых глупых высказываний, какие мне приходилось слышать в жизни (к сожалению, много раз), звучит примерно так: «Зачем мы будем возиться с интегралами, нам не нужны точные формулы, мы поставим систему на компьютер, да и вычислим то решение, которое нужно». На самом деле, никакой компьютер не позволяет вычислить решение на очень больших временах (за весьма редкими исключениями, к которым относятся такие решения, которые со временем асимптотически сходятся к равновесиям или к периодическим режимам). Кроме того, существование или несуществование интегралов во многом определяет качественное поведение данной системы. Вообще, применение компьютера к исследованию динамических систем требует не меньшей, а наоборот, более глубокой математической подготовки. Иначе не разобраться в том ворохе информации, который выдает машина, и даже не понять, имеет ли она какое-либо отношение к решениям заданного дифференциального уравнения. Не менее важно и то обстоятельство, что создавать адекватные и эффективные численные методы возможно лишь при достаточно глубоком понимании математической сущности уравнений и их решений. В частности, когда система уравнений обладает одним или несколькими интегралами, лучшие вычислительные схемы (скажем, сеточные или галеркинские) получаются при условии, что для приближенных решений интегралы сохраняются точно.

Геометрический смысл интеграла. Пусть ϕ — интеграл уравнения (5.6). Тогда уравнение

ϕ(x) = C (5.10)

для любой постоянной C определяет множество уровня функции ϕ. Оно может быть пустым или, наоборот (если _ϕ ≡ C), совпадать со всем пространством, но в нетривиальных случаях это — гиперповерхность. Например, непустые множества уровня функции ϕ : R³ → R, заданной равенством

, суть сферы в R³, за исключением лишь случая C = 0, когда это множество состоит из одной точки (0,0,0).

По определению интеграла, ϕ(x(t)) для любого решения x(t) сохраняет постоянное значение. Если x(0) = x₀, то это постоянное значение есть, очевидно, ϕ(x₀). Таким образом, движущаяся точка x(t) все время остается на гиперповерхности

ϕ(x) = ϕ(x₀). (5.11)

Выходит, что при исследовании динамики, определяемой уравнением (5.6), мы можем ограничиться рассмотрением движений на отдельных гиперповерхностях ϕ(x) = C. В принципе, динамика описывается в таком случае системой дифференциальных уравнений на единицу меньшего порядка.