Математические модели естествознания (стр. 11 из 64)
Если имеется два интеграла ϕ1 и ϕ2 (обобщение на большее количество интегралов очевидно), то естественно ввести совместноемножествоуровня, определяемое для любых заданных констант C1 и C2, равенствами
ϕ1(x) = C1, ϕ2(x) = C2. (5.12)
Теперь дело сведется к изучению динамики на инвариантных совместных множествах уровня. Их размерность (при условии функциональной независимости интегралов ϕ1 и ϕ2) уже на две единицы меньше, чем размерность фазового пространства системы. Говорят, что такие множества (подмногообразия) имеют коразмерность 2.
Условие функциональной независимости интегралов, разумеется, весьма существенно. Дело в том, что если ϕ1 и ϕ2 — интегралы, то также и F(ϕ1(x),ϕ2(x)) также интеграл при произвольной функции двух переменных F. Обычным достаточным условием функциональной независимости функций ϕ1(x) и ϕ2(x) служит, как вы знаете из курса анализа, требование, чтобы их матрица Якоби имела максимальный ранг. Когда количество функций совпадает с числом независимых переменных, матрица Якоби — квадратная, и это условие сводится к неравенству нулю ее определителя — якобиана.
Замечу, что вполне возможно было бы по аналогии ввести интегралы ϕ(x,t), зависящие от времени — как для автономного уравнения (5.6), так и для неавтономного уравнения (5.1). К сожалению, они редко встречаются. Приведу несколько примеров систем, допускающих интегралы.
Пример 1. Гармонический осциллятор. Рассмотрим уравнение 2-го порядка
x¨ + x = 0. (5.13)
Для любого решения x(t), умножая (5.13) на x˙, получим
. (5.14)Таким образом,
есть интеграл. Это полная энергия.Если решить уравнение (5.13) с начальным условием x(0) = 0, x˙(0) = 1, то получим x(t) = sint. Таким образом, закон сохранения энергии для гармонического осциллятора выражается равенством sin2 t + cos2 t = 1.
Пример2.УравненияЭйлеравращениятвердоготелавокругнеподвижной точки. Эти уравнения, возможно, самые красивые во всей механике, имеют вид
(5.15)Неизвестные p, q, r суть компоненты абсолютной угловой скорости ω тела в системе координат, жестко связанной с телом. Параметры A, B, C суть главные моменты инерции тела. Мы теперь хотим умножить каждое из трех уравнений на надлежащие функции, потом сложить, да так, чтобы справа получился 0. Давайте умножим их соответственно на p, q, r. В результате получим
. (5.16)Это, очевидно, означает, что система (5.16) имеет интеграл
. (5.17)T — кинетическая энергия тела. А нет ли еще одного интеграла? Если умножить уравнения (5.15) соответственно на Ap, Bq, Cr, то аналогично получим интеграл момента:
. (5.18)Очевидно, он независим с интегралом T. Нельзя ли найти еще один интеграл? Нет, получился бы перебор. Система x˙ = F(x) в Rn (за исключением лишь не очень интересного случая уравнения x˙ = 0) может иметь не более, чем n − 1 интеграл, наличие n независимых интегралов воспрещает всякое движение системы.
Итак, мы по существу уже пришли к точному решению уравнений Эйлера! Пользуясь двумя найденными интегралами (например, исключая p и q), мы сведем эту систему третьего порядка к одному автономному уравнению. Мы знаем, как такие уравнения решать — методом разделения переменных. Конечно, это давно проделано, и решение уравнений Эйлера выражено через эллиптические функции (см. [20]).
Замечу, что фактически мы, разыскивая интегралы системы (5.15), нашли сначала две нетривиальные косимметрии этой системы:
. (5.19)Пример 3. На сей раз рассмотрим уравнение в частных производных — волновое уравнение
utt − c2∆u = 0, (5.20)
для неизвестной функции u(x,t), x ∈ D, где D — ограниченная область в Rn, ее границу ∂D будем считать гладкой. Предположим, что на границе ∂D выполняется краевое условие первого рода
. (5.21)Возможны и условия третьего или второго рода (рассмотрите сами эти случаи). Для волнового уравнения следует ставить два начальных условия
, (5.22)где u0, v0 — известные функции, заданные в области D. Нужно, конечно, решить вопрос о том, каким функциональным пространствам принадлежат эти функции. Например, можно считать, что v0 ∈ L2, а функция
— пространству функций, имеющих первые производные, интегрируемые с квадратом; нолик сверху означает, что эти функции в определенном смысле удовлетворяют краевому условию (5.21).
— это энергетическое пространство оператора −∆ с краевым условием (5.21) (см. [29]). При таких условиях можно доказать существование и единственность обобщенного решения начально-краевой задачи (5.20)–(5.22).Мы, однако, в следующем рассуждении предположим, что имеется гладкое решение. Для любого такого решения u(x,t) запишем уравнение (5.20), умножим его на ut и проинтегрируем по области D. Тогда получится равенство
(5.23)Интегрируя по частям, преобразуем последний интеграл:
(5.24)Поверхностный интеграл исчезает в силу краевого условия (5.21), из которого следует, что
; равенство (5.24) переписывается в виде
(5.25)Из равенств (5.23) и (5.25) выводим
. (5.26)Таким образом, функционал E(u,ut), определенный равенством
(5.27)на всем фазовом пространстве
, является интегралом рассматриваемой динамической системы. Это снова интеграл энергии, теперь для6 Неавтономные дифференциальные уравнения
волнового уравнения, которое является одним из наиболее естественных бесконечномерных аналогов уравнения второго закона Ньютона. Обратите внимание на довольно неприятное столкновение слов — «интеграл» фигурирует здесь в двух смыслах: E — интеграл волнового уравнения, и сам он выражается посредством интеграла по области D. Такая трудность характерна для прикладной математики, когда приходится применять результаты разных областей, а в каждой из них имеется своя установившаяся терминология. Что тут поделаешь? Будем хотя бы избегать выражений типа «интеграл E равен интегралу», в котором одно и то же слово имеет более одного смысла.
6. Неавтономные дифференциальные уравнения
Наиболее фундаментальные законы природы инвариантны относительно сдвигов времени, а потому приводят к автономным дифференциальным уравнениям. Однако и неавтономные дифференциальные уравнения постоянно возникают в качестве математических моделей различных природных и технологических процессов. Так получается уже потому, что исключение неизвестных функций из системы автономных дифференциальных уравнений приводит к системам меньшего порядка, но неавтономным. Я покажу это на простом примере, хотя идея носит вполне общий характер.
Рассмотрим автономную систему дифференциальных уравнений
x˙ = xyz,
y˙ = x + y + z, (6.1) z˙ = z.
Последнее уравнение легко решить: z(t) = z0et, где z0 — начальное значение функции z(t). Подставляя функцию z(t) в остальные два уравнения, приходим к неавтономной системе второго порядка
x˙ = z0etxy,
y˙ = x + y + z0et. (6.2)
Мы видим, что класс всевозможных автономных дифференциальных уравнений не замкнут относительно операции исключения некоторых из неизвестных функций. А вот, например, класс систем линейных алгебраических уравнений относительно такой операции замкнут: исключение неизвестной приводит к системе линейных алгебраических уравнений на единицу меньшего порядка. Менее очевидно, что и класс полиномиальных уравнений замкнут относительно исключения неизвестных. Это устанавливается в теории результантов, в которую значительный вклад внес многолетний чемпион мира по шахматам Э. Ласкер (см. [7]).