Математические модели естествознания (стр. 12 из 64)
Ситуация, которую мы наблюдаем в приведенном примере, возникает всякий раз, когда рассматриваемая система разбивается на две или более подсистем, причем некоторые подсистемы эволюционируют независимо от других. Философия говорит нам, что все в мире взаимосвязано и взаимозависимо, но если это положение понимать слишком буквально, то получится, что ничего нельзя изучить, так как каждый раз мы в состоянии учитывать лишь конечное число факторов. Помогает то обстоятельство, что во многих случаях «большие системы» влияют на малые, а обратным воздействием малых систем на большие вполне допустимо пренебречь. Например, изучая динамику трамвая или космического корабля, разумно оставлять без внимания влияние их движения на движение Земли вокруг Солнца.
Обобщенный закон причинности. В случае неавтономного дифференциального уравнения
x˙ = F(x,t) (6.3)
эволюционный оператор зависит от выбора начального момента. Решение задачи Коши для уравнения (6.3) с начальным условием
(6.4)представляется в виде
. (6.5)Эволюционный оператор
зависит теперь от двух параметров — начального момента τ и конечного момента t. Его называют также оператором сдвига по траектории уравнения (6.3) за время от τ до t. Разумеется, само существование эволюционного оператора является следствием теорем существования и единственности решения задачи Коши (6.3), (6.4). Эти теоремы и указывают, при каких τ и t определен оператор 
для данного уравнения. Вы уже знаете, с какими трудностями приходится сталкиваться, когда мы хотим определить оператор 
для всех t, τ или хотя бы при всех t > τ.Рассмотрим три момента времени τ, s, t (см. Рис. 2). Наряду с выражением (6.5) для x(t), можно получить и другое выражение. Сначала найдем
, а затем еще раз решим задачу Коши с начальным условиемНеавтономные дифференциальные уравнения
Рис. 2
. Тогда для x(t) получим
. (6.6)Так как это равенство верно для любых x0, получим равенство для операторов
. (6.7)Это и есть обобщенный принцип причинности. Отметим очевидные равенства
. (6.8)В случае автономного уравнения F = F(x) нетрудно доказать (докажите!) равенство
(6.9)для любого h ∈ R. Полагая здесь h = −τ, получим, что
. (6.10)Если теперь в обобщенном принципе причинности (6.7) положить τ = 0, а затем заменить t на s + τ (это уже новое τ) и воспользоваться равенством (6.10), то получится
, (6.11)то есть принцип причинности для автономного уравнения.
Посмотрим еще, какие специальные свойства имеет эволюционный оператор в случае периодического дифференциального уравнения с периодом p > 0. Если правая часть уравнения (6.3) p-периодична, то есть F(x,t + p) = F(x,t), то эволюционный оператор
этого уравнения удовлетворяет очевидному равенству (докажите его!)
. (6.12)Оператор
сдвига по траекториям дифференциального уравнения (6.3) на период p называется оператором монодромии, отвечающим начальному моменту τ. Воспользуемся равенством (6.12) и обобщенным законом причинности (6.7). Положим τ = −p, s = p. Тогда получим сначала, что 
, а затем:
. (6.13)Это равенство часто применяется в теории линейных периодических дифференциальных уравнений. Оно похоже на принцип причинности для автономных уравнений, но выполняется лишь в случае, когда один из моментов времени есть период p. Из (6.13) следует, что можно также в качестве второго момента выбрать np, где n — любое целое число:
. (6.14)7. Интегро-дифференциальные уравнения
Этот термин крайне неудачен. Он говорит лишь о том, что в уравнении присутствуют операции дифференцирования и интегрирования, но такие уравнения могут иметь совершенно разную природу. Объясню это на примерах.
Рассмотрим уравнение для неизвестной функции f(x,t) с областью определения x ∈ Rn, t ∈ R
(7.1)Здесь ∆ — оператор Лапласа, G — известное ядро интегрального оператора. Такого рода интегро-дифференциальные уравнения весьма интересны, регулярно возникают в приложениях, в частности, основные уравнения
Интегро-дифференциальные уравнения
статистической механики (уравнения Больцмана, Ландау, Власова) принадлежат этому типу. Характерно, что интегрирование в (7.1) производится
не по времени t, а по пространственной переменной x. Поэтому
— скорость изменения функции f в момент времени t — выражается согласно (7.1), посредством операций над функцией f в тот же момент времени t. Это и есть основная общая идея дифференциального уравнения. Если трактовать функцию f как вектор-функцию времени t со значением в некотором банаховом пространстве функций от x (например, 
или X = C(Rn)), то уравнение (7.1) может быть представлено как дифференциальное уравнение в банаховом пространстве X
(7.2)Производная здесь не частная, а прямая, потому что f = f(·,t) мыслится теперь как элемент функционального пространства. Оператор A(t) определяется правой частью уравнения (7.1), он зависит от t потому (лишь потому), что от t зависит ядро G.
Уравнения, подобные (7.1), в которых присутствует интегрирование не по t, а, скажем, по пространственным переменным, собственно говоря, не требуют особой общей теории, а являются объектом теории обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве (см., например,
[11]).
Более специфичны эволюционныеинтегро-дифференциальныеуравнения, содержащие интегрирование по времени. Именно уравнения этого типа лежат, например, в основе наследственной теории упругости, описывающей поведение полимерных материалов. Находят они существенные применения и в ряде задач экологии. В этих областях уже исходные уравнения являются не дифференциальными, а интегро-дифференциальными.
Я сейчас покажу, что даже если бы все исходные модели были автономными дифференциальными уравнениями, то очень скоро мы пришли бы и к интегро-дифференциальным уравнениям. Сказывается тот же недостаток класса дифференциальных уравнений — его незамкнутость относительно операции исключения части неизвестных. В благополучных случаях после операции исключения может получиться неавтономное дифференциальное уравнение (такой вариант мы с вами уже рассматривали). В более сложных ситуациях получается интегро-дифференциальное уравнение. И это я объясню на простом примере.
Рассмотрим систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений
x˙ = x + y,
y˙ = −y + x. (7.3)
Потребуем, чтобы выполнялись начальные условия
. (7.4)Исключим из этой системы неизвестную функцию y, пользуясь вторым уравнением. Если временно считать x(t) известной функцией, то для y(t) получается линейное неоднородное дифференциальное уравнение. С использованием начального условия находим (проще всего использовать интегрирующий множитель et)
t
Z