Математические модели естествознания (стр. 13 из 64)

−t −(t−_τ)

y(t) = y₀e + e x(τ)dτ. (7.5)

0

Подстановка в первое уравнение системы (7.3) дает интегро-дифференциальное уравнение для неизвестной функции x(t)

t

Z

−t −(t−_τ)

x˙ = x + y₀e + e x(τ)dτ. (7.6)

0

Конечно, это чисто иллюстративный пример. Однако случается,что посредством исключения переменных удается весьма существенно упростить задачу. Бывает даже, что удается свести к скалярному интегро-дифференциальному уравнению бесконечномерную систему уравнений [13]. Весьма возможно, что интегро-дифференциальные уравнения наследственной теории упругости и экологии тоже можно получить посредством исключения некоторых скрытых переменных из более общей системы дифференциальных уравнений. Я думаю, что так оно и есть, хотя этого еще никто не проделал.

Замечу еще, что бывают, конечно, сложные ситуации, в которых неизвестные исключить не удается, и не только потому, что мы не располагаем явными формулами, но и по существу, из-за того, что такое исключение, скажем, неизвестной y, возможно не для всех функций x. Такие ситуации могут быть очень интересны и до сих пор никем как следует не рассмотрены.

8 Декартово произведение динамических систем и разбиение системы на

независимые подсистемы 51

И еще одно замечание. Мы говорим об исключении неизвестных в задаче Коши. Для систем дифференциальных уравнений ставятся и другие задачи, например, задача Пуанкаре о периодических решениях. Для них тоже представляет интерес проблема исключения неизвестных. Все это до сих пор мало исследовано. Очень интересно выяснить, при каких условиях такое исключение возможно, какого рода уравнения при этом получаются, а главное — что это может дать для понимания исходной системы.

8. Декартово произведение динамических систем и

разбиение системы на независимые подсистемы

Обычные теоретико-множественные операции — взятие объединения, пересечения, разности, симметрической разности, скажем, над двумя множествами X, Y , хотя и всегда определенные формально, пожалуй, оказываются содержательными лишь в том случае, когда эти множества состоят из элементов одной и той же природы (впрочем, объединение самых разнородных элементов может появиться в списке товаров, продаваемых некоей фирмой). Операция декартова умножения бывает интересна и без этого ограничения. Напомню, что декартово произведение X × Y есть множество всевозможных пар (x,y), где x ∈ X, y ∈ Y . Когда множества X и Y снабжены (или, как часто говорят, оснащены) теми или иными дополнительными структурами, бывает интересно определить соответствующие структуры и на их декартовом произведении. Так оказывается возможным определить декартово произведение групп, метрических пространств, линейных пространств, гильбертовых пространств и т. д. таким образом, что и декартово произведение оказывается, соответственно, группой, метрическим пространством, линейным пространством и т. д.

Декартовым произведением динамических систем

и называется динамическая система . Пространство этой динамической системы есть декартово произведение метрических пространств X₁ и X₂. Расстояние в этом новом метрическом пространстве для любых двух его элементов

) определяется как сумма расстояний

. Здесь ρ₁ — расстояние в X₁, а ρ₂ — расстояние в X₂. Что касается декартова произведения отображений , то его действие на элемент (x₁,x₂) определяется равенством

. (8.1)

Говоря короче, сама идея декартова произведения состоит в том, что операции производятся отдельно в каждом пространстве X₁ и X₂. Легко проверить, что для определенного таким образом отображения

: X₁ × X₂ → X₁ × X₂ выполняется принцип причинности. Таким образом, данное определение действительно приводит к новой динамической системе

.

Вполне аналогично можно определить декартово произведение трех, четырех и вообще любого набора динамических систем. Имеются и определения декартова произведения бесконечного набора динамических систем, даже не обязательно счетного.

Великая операция декартова произведения множеств и отображений позволяет нам любую систему уравнений трактовать как одно уравнение. Выходит, что общая теория систем уравнений просто не нужна. Это хороший пример пользы, которую может принести концептуальный подход, удачное введение общих абстрактных понятий.

Если имеются два дифференциальных уравнения, скажем, x˙ = F(x,t) в банаховом пространстве X и y˙ = G(y,t) в банаховом пространстве Y , то операция декартова произведения этих уравнений сводится к тому, что мы записываем их вяясте и ряясмяяриваем как одно уравнение. Форяяльяя эяя означает,яято мы вводим вектор z = (x,y) ∈ X × Y и записываем полученную систему как одно уравнение

z˙ = Q(z,t), (8.2)

причем поле Q определяется равенствами

Q(z,t) = (F(x,t),G(y,t)). (8.3)

Я бы хотел, чтобы Вы почувствовали, как тривиально все то, что до сих пор здесь сказано о декартовом произведении. А выигрыш состоит в том, что, например, не нужны новые теоремы существования решения задачи Коши для систем уравнений. Проведенная операция не вывела из класса дифференциальных уравнений на банаховом пространстве.

Если уравнение (8.2) можно представить в виде системы

x˙ = F(x,t),

(8.4) y˙ = G(y,t),

то, как говорят физики, исходная система (8.2) представлена в виде объединения двух невзаимодействующих или независимых подсистем. Когда все эти уравнения автономны, получается и соответствующее разбиение динамической системы на невзаимодействующие подсистемы.

9 Производные и градиенты

Задача разбиения заданной системы на невзаимодействующие подсистемы, в известном смысле обратная декартову умножению, отнюдь не тривиальна и далеко не всегда разрешима. Приведу пример, когда эта задача особенно хорошо решается.

Рассмотрим линейное уравнение в пространстве Rⁿ

x˙ = Ax (8.5)

с самосопряженным оператором A (задаваемым симметричной вещественной матрицей). Известно, что у такого оператора существует ортонормальный базис векторов ϕ₁,...,ϕ_n, так что Aϕ_k = λ_kϕ_k для k = 1,...,n. Если разыскивать решение векторного уравнения (8.5) в виде

(8.6)

с неизвестными коэффициентами ξ_k, то подстановка (8.6) в (8.5) дает для определения ξ_k уравнения

ξ˙_k = λ_kξ_k, k = 1,...,n. (8.7)

Исходная система (8.5) разбилась таким образом, на n невзаимодействующих подсистем. Нетривиальность этого разбиения проявляется хотя бы в том, что оно изменяется при изменении оператора A.

Если теперь мы рассмотрим уравнение (8.5) с несимметричным оператором A, то увидим, что разбиение не всегда возможно. Например, если n = 2, то в случае жордановой клетки

соответствующая система

x˙ = λx + y,

(8.8)

y˙ = λy

не может быть разбита на невзаимодействующие подсистемы, хотя независимое уравнение для y выделяется. Невозможно также разбиение на невзаимодействующие подсистемы для системы второго порядка, соответствующей гармоническому осциллятору

x˙ = y,

y˙ = −x. ^(8.9)

Припомнив нормальную жорданову форму матрицы, Вы легко решите вопрос о том, когда возможно, а когда невозможно разбить заданную линейную систему (8.5) на невзаимодействующие подсистемы.

9. Производные и градиенты

Производная по скалярному аргументу. Скорость как дифференциальный оператор. Начнем с определения производной по скалярному аргументу вектор-функции x(τ) со значениями в банаховом пространстве X. Естественно положить

. (9.1)

Здесь имеется два основных варианта: предел можно понимать в смысле сильной сходимости, то есть по норме пространства X, либо в смысле слабой сходимости. Соответственно, получаются понятия сильной и слабой производной. Когда речь будет идти о произведении, я буду в дальнейших приложениях иметь в виду, как правило, сильную производную.