В отличие от производной f0(x), градиент определяется заданием скалярного произведения. Он изменится, если поменять скалярное произведение. Пусть A : H → H — самосопряженный положительно определенный оператор, заданный на всем пространстве H. Это означает, что оператор A линеен, и для любых ξ, η ∈ H справедливо равенство (Aξ,η) = (ξ,Aη), и (Aξ,ξ) ≥ γ2(ξ,ξ) при некотором γ > 0. Давайте еще предположим, что оператор A ограничен и обратим, имеет ограниченный обратный A−1. На самом деле, и то и другое можно вывести, соответственно, из предположений, что оператор A задан всюду и что он положительно определен. В математической физике чрезвычайно интересны неограниченные самосопряженные операторы, которые определены не всюду, а лишь на некоторых всюду плотных в H линейных многообразиях, см. [28]. В случае конечномерного H все эти проблемы просто не возникают. Всякий положительно определенный оператор A в H определяет новое скалярное произведение
(ξ,η)A = (Aξ,η) (9.13)
для любых ξ, η ∈ H. Проверьте, что все аксиомы скалярного произведения действительно выполняются. Когда оператор A имеет ограниченный обратный, это скалярное произведение эквивалентно прежнему — в том смысле, что сходимость по соответствующим нормам одна и та же.
Найдем связь между градиентами, порождаемыми этими скалярным произведениями. Согласно определению (9.12), имеем равенства
Учитывая определение (9.13), из (9.14) выводим равенства
(u,grad f(x)) = (u,gradA f(x))A = (Au,gradA f(x)) = (9.15) = (u,A gradA f(x)).
Так как равенство
выполнено при любых u ∈ H, заключаем, что grad и gradA связаны соотношениями
grad f(x) =A gradA f(x),
Замечу, что подобные соотношения выполняются и в тех случаях, когда оператор A задан не на всем пространстве H, а лишь на некотором плотном в H линейном многообразии DA (это область определения оператора A). В такой ситуации, однако, приходится проделывать еще немалую дополнительную работу. Ее первая часть — пополнение линейного многообразия DA по норме, порожденной скалярным произведением (9.13) (см. [28]). Потом еще приходится разбираться в необходимых ограничениях на функционал f и находить область определения градиентов. Сами градиенты могут и не быть непрерывными операторами — даже в случае, когда они линейны (по x), что получается, когда f — квадратичный функционал.
Одним из главных источников фундаментальных математических моделей являются вариационные принципы механики. Современная механика началась с классической работы И.Ньютона «Математические принципы натуральной философии» (1687) [32]. Конечно, у механики была долгая и богатая предыстория (вспомним, например, Архимеда), а Галилея можно уже считать современным физиком, потому что он понял, что природу необходимо познавать при помощи экспериментов, строить теории путем обобщения полученных данных, а не искать ответы в трудах авторитетных древних авторов. До него считалось, что ответы на все вопросы можно найти у Аристотеля.
Дальнейшее развитие механики привело к широким обобщениям, к определенному слиянию теоретической (аналитической) механики с дифференциальной геометрией на многообразиях. Между прочим, оказалось, что уравнения движения механической системы можно представить в очень многих различных, зачастую разительно отличающихся друг от друга, формах. Ричард Фейнман заметил, что таким свойством обладают все фундаментальные модели физики (механика, квантовая физика и квантовая теория поля). Он поставил вопрос, почему это так. Я думаю, что разные формы эволюционных уравнений простейших (они-то и являются наиболее фундаментальными) математических моделей в физике наиболее приспособлены для различных обобщений. Так, вариационные принципы Гамильтона и Мопертюи (точнее, Мопертюи-Эйлера-Лагранжа-Якоби), уравнение первого порядка в частных производных, называемое уравнением ГамильтонаЯкоби, в классической механике (почти) эквивалентны. Но принцип Гамильтона непосредственно обобщается на механику теории относительности (релятивистскую механику), за исключением механики фотонов (света, электромагнитных волн), принцип Мопертюи сохраняется и в динамике фотонов. А вот квантовая физика использует обобщение уравнения ГамильтонаЯкоби.
Подходы и результаты механики находят себе применение далеко за ее пределами. Например, мы увидим дальше, что электродинамика может считаться в определённом смысле частным случаем механики.
Механика
Второй закон Ньютона. Несомненно, начало современной механики — это второй закон Ньютона для материальной частицы:
mx¨ = F.
Здесь m — масса частицы, x(t) = (x1(t),x2(t),x3(t)) — ее положение в момент времени t. Частица движется в пространстве R3, и x1(t), x2(t), x3(t) — ее координаты, а F — действующая на частицу сила. В самом простом случае F = F(t), то есть сила задана как функция времени. В этом случае решение уравнения легко находится двумя интегрированиями по t. Обычно сила F бывает задана как вектор-функция от аргументов x ∈ R3, x˙ ∈ R3 и времени t. Тогда уравнение второго закона Ньютона есть векторное дифференциальное уравнение второго порядка
mx¨ = F(x,x,t˙ ).
...
Случается, что F зависит от x¨ и даже от x, а может быть, и от высших производных. Однако, такое происходит не в фундаментальных моделях, а скорее, в результате исключения переменных в более широких системах. Например, уравнение движения электронов в электромагнитном поле — третьего порядка, но это получается потому, что из общей системы исключается поле.
Физики обычно говорят, что материальная точка — это тело «столь малых размеров», что ими при данных условиях можно пренебречь. Например, размеры планет столь малы по сравнению с их расстояниями до Солнца, что при изучении их движения планеты можно считать материальными точками. В астрономии так и делается, и теоретические результаты великолепно подтверждаются наблюдениями. Вместе с тем, при изучении вращения Земли или, скажем, движения самолетов и ракет необходимо учитывать размеры и форму нашей планеты.
Для того, чтобы описать движение материальной точки , конечно, недостаточно задать ее положение. Правильные начальные условия включают также задание скорости:
x(0) = x0, x˙(0) = v0.
Здесь x0 = (x01,x02,x03) ∈ R3 — начальное положение точки, а v0 = (v01,v02,v03) ∈ R3 — ее начальная скорость. Таким образом, фазовое пространство данной системы есть R3 × R3, а состояние системы есть пара (x,v), где x — положение материальной точки, а v — ее скорость. Это было грандиозным открытием Ньютона — пространство, в котором мы живем, как бы удваивается. Аристотель, конечно, не знал дифференциальных уравнений, но если прочитать внимательно его рассуждения о движении камня, то видно, что он, пожалуй, пытался описать мир, который управляется дифференциальным уравнением первого порядка.
И. Ньютон на основе уравнения своего второго закона построил механику системы частиц и применил ее прежде всего к проблеме движения планет. Пожалуй, среди всех открытий Ньютона самым потрясающим было доказательство того факта, что одна и та же сила (всемирного тяготения) заставляет падать камень на Земле и удерживает планеты на их орбитах. Сначала он установил, что Луна на своей околоземной орбите действительно удерживается силой, обратно пропорциональной ее расстоянию до Земли. Забавно вспомнить, что Ньютона избрали действительным членом английской Академии наук (Royal Society) не за это открытие, и вообще не за научное открытие, а за то, что он изобрел прекрасный способ шлифовки стекла и изготовления зеркал для телескопов-рефлекторов. Сама идея телескопа-рефлектора, вместе с ее реализацией, тоже принадлежала И. Ньютону.
В основу построения современной механики полагают обычно принцип Гамильтона, не вполне точно называемый также принципом наименьшего действия.
Положение механической системы есть, по определению, точка области D в пространстве Rn. Область D называется конфигурационным пространством или пространством положений данной системы. Размерность dimD конфигурационного пространства называется числом степеней свободы системы. Например, материальная точка в R3 имеет три степени свободы, а система, состоящая из двух материальных точек, имеет шесть степеней свободы. Таким образом, число степеней свободы — это количество скалярных параметров, которые необходимо задать, чтобы однозначно определить положение системы.
Сейчас мы рассматриваем системы с конечным числом степеней свободы. Однако в механике и физике сплошной среды необходимо изучать и системы с бесконечным числом степеней свободы — жидкость или газ, деформируемое упругое тело, электромагнитное поле. Соответствующие тео-