Математические модели естествознания (стр. 16 из 64)

рии развиваются во многом по образцу классической механики систем с конечным числом степеней свободы. Во всяком случае, формальный аппарат механики сплошной среды строится по аналогии — конечные суммы заменяются интегралами или бесконечными суммами, вместо разностей возникают производные и так далее. Конечно, переход от конечного числу степеней свободы к бесконечному — дело серьезное, и возникают многие новые проблемы. Далеко не со всеми из них в настоящее время справляется современная наука, такие проблемы сейчас составляют один из важнейших стимулов к развитию математики.

Точка области D обычно обозначается через q = (q₁,q₂,...,q_n), а величины q₁,...,q_n называются ее обобщенными или лагранжевыми координатами. Это обозначение идет от самого Лагранжа, который научился и научил механиков использовать при исследовании различных систем криволинейные координаты (и многому другому).

• Надо признаться, что я с некоторым содроганием говорю, что D есть область пространства Rⁿ. Правильно было бы сказать, что конфигурационное пространство механической системы есть дифференцируемое многообразие. Это такое пространство, для которого в окрестности каждой точки можно ввести систему координат q₁,q₂, ...,q_n. Такая система координат (взаимно-однозначное отображение данного подмножества на некоторый шар в Rⁿ) называется картой многообразия в данной координатной окрестности. Дальше мы будем работать в одной координатной окрестности, так что наши рассмотрения будут локальными. Однако, вообще говоря, нельзя ввести единой системы декартовых координат даже на таких простых многообразиях как окружность S¹ на плоскости или сфера S² в R³. Приходится разбивать многообразия на части, в каждой из которых координаты ввести можно. Эти подмножества могут (даже должны) пересекаться, в пересечениях мы имеем сразу две системы координат, и надо установить между ними соответствие. Для полного описания многообразия нужен, таким образом, целый набор локальных карт вместе с правилами их согласования в общих частях. Такой набор карт называется атласом — образец прекрасной математической терминологии (вызывает правильные и ясные аналогии). Когда все это аккуратно проделывается, то и получается теория дифференцируемого многообразия (см. [2, 3, 10, 15]).

Состояние механической системы задается парой (q,v), где q ∈ D — положение системы, а v ∈ Rⁿ — ее обобщенная скорость. Если положение системы меняется по закону q = q(t), то ее (обобщенная) скорость есть v = q˙(t), т.е. производная по времени от q(t). Предполагается, что система, находясь в положении q, может иметь любую мгновенную скорость v. Таким образом, фазовое пространство данной механической системы есть

D × Rⁿ.

• В общей ситуации конфигурационное пространство есть гладкое многообразие M, но фазовое пространство есть не просто декартово произведение, а новое многообразие, называемое касательным расслоением и обозначаемое T M. Оно лишь локально (над одной картой) является декартовым произведением.

Оказывается, чтобы определить механическую систему, достаточно задать одну функцию L(q,q,t˙ ), которая называется функцией Лагранжа или лагранжианом. Ее область определения есть расширенноефазовоепространство — декартово произведение фазового пространства и оси времени: D × Rⁿ × R. Итак, функция L задана для любой тройки (q,q,t˙ ), q ∈ D, q˙ = v ∈ Rⁿ, t ∈ R.

Действие по Гамильтону. Теперь определим действие (по Гамильтону), полагая

t2

Z

S = L(q(t),q˙(t),t)dt. (10.1)

t1

Предполагается, что t₂ > t₁, а в остальном моменты времени t₁ и t₂ произвольны. Заметьте еще, что здесь q˙(t) — на самом деле, производная по времени от вектор-функции q(t) со значениями в Rⁿ, а точнее, в области D. В то же время, когда мы пишем функцию Лагранжа L(q,q,t˙ ), то q˙ означает просто независимую переменную.

Как видно, действие есть функционал, который каждой вектор-функции q(t) со значениями в D ставит в соответствие число.

Деформация и вариация

Теперь определим (гладкую) деформацию данной вектор-функции q(t), заданной для t ∈ [t₁,t₂] (а еще лучше на всей вещественной оси). Гладкой деформацией вектор-функции q(t) со значениями в D называется гладкая вектор-функция q˜(t,ε) со значениями в D, определенная для t ∈ [t₁,t₂], _ε ∈ (−ε₀,ε₀) (величина ε₀ > 0 не имеет значения, дальше будет видно почему), и удовлетворяющая условию

q˜(t,0) = q(t). (10.2)

• К сожалению, во многих книгах геометры деформацию называют вариацией, отступая и от наглядности, и от прекрасной терминологии классиков (Л.Эйлера, И.Бернулли, Ж.Лагранжа).

Вариацией вектор-функции q(t), отвечающей заданной деформации q˜(t,ε), называется

. (10.3)

• И.Бернулли и Л.Эйлер первыми стали рассматривать функционалы типа нашего действия S (правда, в связи с совсем другими задачами — о брахистохроне и т.п.). Если мы имеем дело с обычной функцией y = f(x), то, как Вы хорошо знаете, очень полезно бывает посмотреть, какое приращение получает эта функция f(x), когда ее аргумент x получает приращение δx. Так вот, Бернулли и Эйлер ввели вариацию сначала интуитивно, как аналог приращения аргумента ∆x. Тем, кто думает, что гениальным ученым все дается легко, я бы посоветовал почитать переписку Эйлера и Бернулли о том, как же строго определить вариацию (см. книгу [37]).

Определение вариации (10.3) дал впервые Лагранж, и всем все стало ясно. Теперь даже трудно понять, что все-таки затрудняло таких людей, как Бернулли и Эйлер. В следующем определении вводится аналог приращения функции ∆y и ее дифференциала dy = f⁰(x)dx.

Определим вариацию функционала S (для данного значения аргумента — вектор-функции q(t)), отвечающую данной деформации q˜(t,ε), полагая

(10.4)

Предполагая, что L гладко зависит от q и q˙, и пользуясь равенством (10.2), из этого определения выводим формулу

t2

Z

δS = (L_q · δq + L_q˙ · δq˙) dt. (10.5)

t1

Мы здесь и далее применяем следующие обозначения

.

При этом δq˙ определяется равенством

. (10.6)

Если теперь предположить, что q˜(t,ε), скажем, C²-гладкая вектор-функция от t, ε, то дифференцирования по ε и по t коммутируют (их можно поменять местами). Тогда из (10.6) выведем

Получилась основная формула вариационного исчисления

(10.8)

• Для вывода этой формулы достаточно предположить существование непрерывной смешанной производной

в некоторой окрестности точки (t,0). С другой стороны, хорошо известно, что в случае недостаточной гладкости функции двух переменных ее смешан-

∂2 ∂2

ные производные и могут и не совпадать (см. примеры

∂t∂ε ∂ε∂t

в учебнике Г.М.Фихтенгольца по математическому анализу, том 1, [44]). Я верю и уже говорил об этом раньше, что все математические «патологии» должны реализовываться в физике и соответствовать тем или иным природным явлениям. Неизвестно (пока!), где в физике могут возникнуть такие функции, у которых смешанные производные зависят от порядка дифференцирования. Может оказаться, что появление таких функций приведет к новым, неизвестным сейчас явлениям.

Теперь мы можем заняться дальнейшим преобразованием вариации δS. Подставляя δq˙ из (10.8) в (10.5) и проводя интегрирование по частям, придем к формуле

. (10.9)

Деформация q˜(t,ε) данной вектор-функции q(t) называется деформацией с закрепленными концами, если для всех ε выполнены равенства

q˜(t₁,ε) = q(t₁), q˜(t₂,ε) = q(t₂).

Варьируя эти равенства, то есть дифференцируя по ε при ε = 0, получим соотношения для вариации

δq(t₁) = 0, δq(t₂) = 0. (10.10)

Принцип Гамильтона

Для истинного движения q(t) механической системы между любыми моментами времени t₁ и t₂, t₁ < t₂, действие имеет экстремальное значение по сравнению со всевозможными деформациями q˜(t,ε) с закрепленными концами. Это означает, что выполняется равенство