Математические модели естествознания (стр. 17 из 64)

δS = 0, (10.11)

В случае достаточно близких моментов t₁ и t₂ действие минимально.

• Исторически принцип Гамильтона не был первым среди вариационных принципов механики. Таковым был принцип наименьшего действия Мопертюи (1747), который в то время был ректором Берлинского университета. Свой принцип наименьшего действия он формулировал достаточно туманно, связывая его с различными философскими и богословскими соображениями (он утверждал, что природа выбирает такие пути, которые требуют наименьшего действия и т.п.). На его счастье, однако, среди сотрудников Берлинского университета был Леонард Эйлер, который и объяснил, в чем на самом деле состоит этот принцип, и что такое действие «по Мопертюи» (оно определяется не так, как действие по Гамильтону). К дальнейшему уточнению и развитию принципа серьезно приложили руку Лагранж и Якоби. Тем не менее, В.И.Арнольд [3] цитирует Якоби, который писал, что принцип Мопертюи даже в лучших учебниках представлен так, что его нельзя понять, а потом замечает: «Не решаюсь нарушать традицию».

Принцип Мопертюи вызвал насмешливую критику Вольтера. Он написал философскую повесть «Кандид», герой которой, попадая в разные мрачные и смешные передряги, каждый раз повторяет ту философскую формулировку Мопертюи, которая в пародийной форме Вольтера звучит так: «Все к лучшему в этом лучшем из миров». Вы, конечно, слыхали эту фразу. (А знаете ли Вы, что именно Вольтер сыграл решающую роль в распространении идей Ньютона на континенте?)

И в принципе Мопертюи, и в принципе Гамильтона есть одна (кажущаяся) странность — условия налагаются на систему в будущие моменты времени. Это может навести на мысль, что данные принципы имеют телеологический смысл, т.е. говорят о том, что механическая система как будто стремится к некоторой высшей цели в своем движении. Конечно, это не так. Мы увидим, что из вариационного принципа Гамильтона следуют дифференциальные уравнения движения, так что на самом деле будущая эволюция механической системы определяется попросту начальными условиями. Что касается принципа Мопертюи, то, как мы увидим далее, здесь дела обстоят иначе — конечное положение системы, действительно, задается, но задаем его мы сами. Строго говоря, принцип Мопертюи относится не к задаче с начальными данными, а к краевой задаче и определяет не эволюцию, а лишь траекторию, соединяющую два положения системы. Замечу, что в литературе по этому вопросу много путаницы, некоторые авторы, обороняя этот принцип от обвинения в «телеологичности», заявляют, что и принцип Мопертюи определяет начальные данные. На самом деле, принцип Мопертюи при заданном положении системы определяет ее начальную скорость, потребную для достижения заданного конечного положения. Таким образом, цель все-таки присутствует в этом принципе, но мы сами ее выбираем.

Существенное различие между двумя принципами проявляется и в том, что принцип Гамильтона определяет эволюцию (решение уравнений движения) однозначно (во всяком случае, при естественных условиях гладкости и невырожденности), тогда как принципу Мопертюи может удовлетворять много, даже бесконечно много, различных траекторий.

Замечу еще, что принцип Гамильтона, являясь мощным средством вывода дифференциальных уравнений движения (а в механике сплошной среды — еще и так называемых естественных краевых условий), вместе с тем, мало пригоден для построения приближенных методов. Так получается именно потому, что условия приходится накладывать на положение системы в будущем, которое нам заранее неизвестно. Правда, в задаче о периодических движениях, когда требуется, чтобы не просто положение, а начальное состояние системы (q,q˙) повторилось спустя период времени T, принцип Гамильтона оказывается весьма полезным и для теории (существование, единственность и неединственность периодических режимов), и для приближенного вычисления.

Уравнения Лагранжа второго рода

Поскольку в принципе Гамильтона допустимы лишь деформации с закрепленными концами, их вариации обращаются в ноль в начальный и конечный моменты t₁ и t₂ соответственно, см. (10.10). Формула для вариации упрощается, и принцип Гамильтона приводит к равенству

. (10.12)

Это равенство должно выполняться для произвольной вектор-функции δq = δq(t), удовлетворяющей краевым условиям (10.10). Если бы этих

краевых условий не было, то мы попросту положили

, вышло бы, что интеграл от квадрата последней вектор-функции равняется нулю, а значит, и сама она равна нулю почти для всех t ∈ [t₁,t₂], а так как она непрерывна, то и для всех t ∈ [t₁,t₂]. Краевые условия, однако, не позволяют нам действовать таким образом. Тем не менее, полученный вывод верен: выполняется уравнение Лагранжа (второго рода)

, (10.13)

или подробнее, в координатах

(10.14)

Имеется два основных способа это доказать. Способ первый состоит в том, чтобы установить, что множество вектор-функций, удовлетворяющих краевому условию (10.10), всюду плотно в пространстве L₂ (точнее,L₂([t₁,t₂],Rⁿ)). Следующие рассуждения носят достаточно общий характер.

Обозначим

, дальше будет неважно, откуда взялась вектор-функция f, интегрируемая с квадратом (скалярным). По свойству плотности для заданной вектор-функции f можно найти такую последовательность вектор-функций η_k(t), удовлетворяющих краевым условиям η(t₁) = η(t₂) = 0, которая сходится в L₂ к f. Это означает, что kf − η_kk → 0 или

t2

Z

(f(t) − η_k(t))² dt → 0. (10.15)

t1

Далее, согласно (10.12) имеем

t2

Z

f(t) · η_k(t)dt = 0, k = 1,2,... (10.16)

t1

Переходя в этом равенстве к пределу, с учетом (10.15) получаем

t2

Z

f² dt = 0. (10.17)

t1

Отсюда и вытекает, что f(t) ≡ 0. Вышло, что мы все-таки смогли, преодолев сопротивление краевых условий, положить δq равным f в (10.12). Я опустил здесь доказательство свойства плотности, надеюсь, что оно Вам известно из функционального анализа и вариационного исчисления.

• На самом деле, справедливо более сильное утверждение, которое применяется не только в случае функций и вектор-функций, заданных на отрезке, но и для функций, заданных в произвольной области (см., например, [28]).

Лемма.МножествофункцийC^∞–гладкихиисчезающихвокрестности границы области D, а если область не ограничена, то также в окрестности бесконечно удаленной точки (то есть вне некоторого шара) — всюду плотно в L₂(D).

Разумеется, окрестность, о которой идет речь в лемме, у каждой функции своя.

Эта лемма распространяется и на вектор-функции со значениями в евклидовом пространстве.

Замечу еще, что окончание нашего предыдущего рассуждения по сути повторяет доказательство известной — простой и важной — леммы функционального анализа.

Лемма. Пусть f ∈ H — элемент гильбертова пространства H, и пусть L ⊂ H — всюду плотное в H множество. Тогда из равенства

(f,η) = 0, (10.18)

выполняющегося для всех _η ∈ L, следует, что f = 0.

Второй способ вывода уравнений Лагранжа (10.13) из равенства (10.12) связан с использованием δ–функции. Мы теперь предполагаем, что векторфункция f = L_q ⁻ _dt^d L_q˙ непрерывна, и для нее выполняется равенство

t2

Z

f(t) · η(t)dt = 0 (10.19)

t1

для всех вектор-функций η, непрерывных и таких, что η(t₁) = η(t₂) = 0. Пусть t₀ ∈ (t₁,t₂) — произвольный момент времени. На сей раз построим последовательность η_k(t) вектор-функций, которая стремится (слабо) к δ-функции δ(t − t₀). Тогда, полагая в (10.19) η = η_k (здесь мы должны предположить, что η_k удовлетворяет краевым условиям) и переходя к пределу, найдем, что f(t₀) = 0, что и требовалось (t₀ — произвольно).

• Оба примененных приема являются частными случаями более общего подхода, основанного на теореме Хана-Банаха. Пусть для данного элемента f банахова пространства X выполняется равенство η(f) = 0, где η есть произвольный линейный функционал из множества M ⊂ X^∗, причем M плотно (или хотя бы полно) в X^∗. Тогда f = 0.

Еще раз запишем теперь уже полностью выведенные уравнения Лагранжа второго рода

.

Конечно, Вас не смутит присутствие здесь частных производных, они лишь участвуют в выражениях для слагаемых этого уравнения. В нормальной ситуации уравнение Лагранжа представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Действительно, производя дифференцирование по t, можно придать уравнению (10.13) форму