Математические модели естествознания (стр. 18 из 64)

Lq˙q˙q¨+ Lqq˙ q˙ + Lqt˙ − Lq = 0. (10.20)

Эта система не разрешена относительно вторых, старших производных. Ее можно разрешить (это и есть нормальная для задач механики ситуация), если выполнено условие

. (10.21)

Матрица в этом равенстве называется матрицей Гесса, а ее определитель — гессианом функции L (по переменным q˙₁, q˙₂, ... , q˙_n). Когда условие (10.21) выполнено для всех (q,q,t˙ ) ∈ D×Rⁿ ×R, уравнение (10.20) и в самом деле представляет собой систему n дифференциальных уравнений второго порядка с областью задания D × Rⁿ × R.

Вырожденные лагранжианы

Случается, что условие невырожденности (10.21) нарушается лишь в отдельных точках или на некоторых подмногообразиях фазового пространства. Мы сейчас рассмотрим вырожденные лагранжианы, для которых уравнение Лагранжа на всем фазовом пространстве «теряет порядок». Итак, назовем лагранжиан L вырожденным, если всюду (тождественно) выполнено равенство

L_q˙q˙(q,q,t˙ ) = 0. (10.22)

В этом случае уравнение Лагранжа (10.20) — первого порядка или вообще не является дифференциальным (становится конечным).

Из равенства (10.22) следует, что L зависит от q˙ линейно:

L = A(q,t) · q˙ + B(q,t), (10.23)

где A(q,t) — вектор-функция, B(q,t) — функция. В координатах равенство (10.23) записывается в виде

L = A_i(q,t)q˙_i + B(q,t), (10.24)

Как обычно, подразумевается суммирование по i от 1 до n. Отсюда выводим

L_q˙i = A_i, L_q˙ = A, (10.25)

. (10.26)

Заметим, во-первых, что при выводе первого равенства (10.26) нам пришлось изменить название немого индекса i на j. А во-вторых, обратите внимание, что во второй формуле (10.26) появилась не сама матрица

, а ее транспонированная . Тут есть о

чем задуматься, а не то легко допустить ошибку. Давайте для функционала M(q,q˙) = A(q) · q˙ = (A(q),q˙) вычислим производную M_q, не переходя к координатам. Воспользуемся определением Гато. Для любого _η ∈ Rⁿ имеем

Здесь A⁰(q) = A_q. Таким образом,

M_q = A^0∗(q)q.˙ (10.28)

Теперь пойдем дальше. Согласно (10.25), (10.26), уравнение Лагранжа (10.20) принимает вид

. (10.29)

Это дифференциальное уравнение (формально) первого порядка в Rⁿ. Его можно разрешить относительно q˙, если операторный коэффициент K =

есть обратимый оператор. Но оператор K кососимметричен: K^∗ = −K. Только в четномерном пространстве Rⁿ кососимметрический оператор может быть обратим. В интересном случае n = 3, как мы уже видели, действие кососимметрического оператора может быть реализовано как векторное умножение на некоторый вектор (точнее, на псевдовектор). Поэтому в случае n = 3 уравнение (10.29) может быть также записано в виде

ω(q,t) ∧ q˙ + A_t − B_q = 0, (10.30)

где ω — тот самый псевдовектор, который определяется оператором K.

Уравнение Лагранжа зависит от лагранжиана L линейно. Если, например, к некоторому известному лагранжиану добавить лагранжиан (10.23), то в уравнение Лагранжа добавится левая часть уравнения (10.29). Это соображение позволяет включить в гамильтонов–лагранжев формализм различные уравнения механики с гироскопическими силами. Такие системы возникают, например, когда мы рассматриваем движение во вращающейся системе координат. Примером служит сила Кориолиса, которая появляется в системе отсчета, связанной с вращающейся Землей.

Дальнейшее вырождение уравнения Лагранжа (10.29) возникает, когда

, то есть в случае, когда векторное поле A потенциально. В координатах это условие имеет вид

. (10.31)

Из курса анализа Вам известно (известно?), что в этом случае существует такая функция ϕ(q,t), что

A = grad ϕ = ϕ_q. (10.32)

Вообще говоря, функцию ϕ можно определить лишь локально. Но если область D ⊂ Rⁿ, где изменяется точка q, односвязна (например, если D = Rⁿ), то потенциал ϕ можно определить всюду в D. При условии (10.32) уравнение (10.29) становится конечным, недифференциальным:

A_t − B_q = 0. (10.33)

С учетом условия (10.32), это уравнение приводится к скалярному

ϕ_t = B. (10.34)

Здесь опущено слагаемое C(t), потому что его можно убрать, включив в функцию ϕ — она ведь, согласно (10.32), определена с точностью до произвольного слагаемого, зависящего от t.

Тривиальные лагранжианы

Мы видим, что задание лагранжиана, согласно принципу Гамильтона, однозначно определяет уравнение движения Лагранжа (10.13). Однако обратное неверно — одному и тому же уравнению (10.13) соответствует не один, а много лагранжианов. Так получается потому, что имеется целый набор тривиальных лагранжианов.

Лагранжиан L⁰ называется тривиальным, если отвечающее ему «уравнение Лагранжа» сводится к равенству 0 = 0. Из предыдущего следует, что тривиальный лагранжиан должен быть линеен по q˙ (см. (10.23)), причем поле A должно быть потенциальным (см. (10.32)). Кроме того, должно выполняться равенство (10.34). В итоге приходим к выводу, что тривиальный лагранжиан должен иметь вид

L⁰ = Aq˙ + B = grad

. (10.35)

11 Лагранжианы материальных частиц

О представлении (10.35) нетрудно было догадаться. Действительно, для лагранжиана L⁰ действие S⁰ при заданном q(t) выразится в виде

, (10.36)

где q¹ = q(t₁), q² = q(t₂). Выходит, что S⁰ вообще не изменяется при варьировании (концы q¹ и q² закреплены) и приводит к тривиальному тождеству.

Окончательный вывод: лагранжиан L⁰ тривиален тогда и только тогда,когдаондопускаетпредставление(10.35)скакой-либогладкой функцией ϕ(q,t).

Понятно, что если к лагранжиану L прибавить тривиальный лагранжиан L⁰, то полученный лагранжиан L + L⁰ приведет к тем же уравнениям Лагранжа. Если лагранжианы L¹ и L² дают одни и те же уравнения Лагранжа, то их разность L² − L¹ — тривиальный лагранжиан.

11. Лагранжианы материальных частиц

Лагранжиан свободной частицы

В физике материальной частицей или материальной точкой называется тело, размерами которого в условиях данной задачи, можно пренебречь. Сейчас мы, исходя из постулатов общего характера, касающихся свойств симметрии пространства и времени, выведем выражение для лагранжиана свободной, то есть не взаимодействующей с другими телами частицы и получим уравнение ее движения.

Разумеется, принятые постулаты не подлежат доказательству — они получаются обобщением всего имеющегося у нас опыта общения с природой.

Предположим, во-первых, что частица двигается в пространстве R³. Ее положение есть точка x = (x₁,x₂,x₃) ∈ R³, так что ее конфигурационное пространство есть R³.

Далее предположим, что пространство однородно и изотропно, а время однородно.

Однородность времени означает, что законы природы не меняются при сдвиге времени, то есть при замене t → t + τ для любого τ. Это означает, что лагранжиан свободной частицы не зависит от времени:

L = L(x,x˙). (11.1)

Физики еще говорят, что не существует выделенного начала отсчета времени, так что его можно выбрать произвольно, и законы природы не изменят не только своего существа, но и формы.

Однородность пространства означает инвариантность законов природы относительно произвольных сдвигов пространства: x → x+h, h ∈ R³. Физически это означает также, что не существует избранного начала отсчета координат. Требование, чтобы лагранжиан был инвариантен относительно всевозможных сдвигов пространства (то есть не изменялся при сдвигах), означает, конечно, что он не зависит от x. Таким образом, мы можем написать, что L = L(v).

Изотропность пространства означает инвариантность законов природы относительно произвольных вращений пространства. Иначе говоря, не существует в пространстве избранных направлений для осей координат декартовой системы отсчета. Соответственно, лагранжиан L должен сохранять значение, когда вектор v подвергается произвольному повороту, который его переводит в v⁰. Но понятно, что вектор v поворотом можно перевести в вектор v⁰ в том, и только том случае, когда их длины одинаковы. Выходит, что лагранжиан L(v), чтобы быть инвариантным относительно вращений, должен зависеть лишь от длины вектора v. Тогда он имеет вид