Математические модели естествознания (стр. 19 из 64)
L = `(v2), (11.2)
где v2 = v · v — квадрат длины, а ` — некоторая функция одной переменной, которую без особых разговоров физики предполагают гладкой (имеющей столько производных, сколько понадобится).
Указанные выше свойства однородности физического пространства и времени и изотропности пространства, строго говоря, имеют место лишь при специальном выборе системы отсчета — декартовых координат в R3 и координаты на оси времени.
Система отсчета с этими свойствами называется инерциальной. В такой системе координат свободное тело, покоящееся в некоторый момент времени (а точнее, на некотором интервале времени), остается в покое неограниченно долго. Фактически, мы постулировали существование одной такой системы отсчета. На самом деле, их оказывается много.
Для того, чтобы сделать последний шаг, нужен еще один важный постулат.
ПринципотносительностиГалилея. Всякаясистемаотсчета,движущаяся по отношению к инерциальной системе поступательно, с постоянной скоростью, остается инерциальной. Иными словами, законы природы инвариантны относительно преобразований Галилея
x0 = x − V t, t0 = t, (11.3)
где V — произвольный вектор.
Заметим, что время в новой системе остается прежним. Постулат об абсолютности времени лежит в основе всей классической механики. Однако в теории относительности он был ревизован. Подчеркну еще, что в принципе относительности речь идет фактически о равномерном поступательном движении системы отсчета. Не только ускоренное поступательное движение, но и вращение с постоянной угловой скоростью нарушает инерциальность.
• На самом деле, такая формулировка принципа относительности Галилея принадлежит Эйнштейну, хотя, конечно, содержание принципа было замечательным открытием Галилео Галилея. В общем принципе относительности Эйнштейна вместо преобразований Галилея (11.3) фигурируют преобразования Лоренца. Время перестает быть абсолютным и теперь уже зависит от движения системы отсчета.
В физике системы отсчета жестко связываются с теми или иными телами. При этом каждый раз получается, что свойство инерциальности выполняется лишь приближенно. Так, система отсчета, связанная с нашей Землей, во многих случаях может считаться приближенно инерциальной, но ее неинерциальность обнаруживается, например, при помощи опыта с маятником Фуко. Причина неинерциальности — вращение Земли вокруг своей оси, более слабое отклонение возникает из-за ее вращения вокруг Солнца. Когда изучается движение Земли вокруг Солнца, система отсчета связывается с Солнцем, эта система является инерциальной с гораздо лучшим приближением. В астрономии, однако, применяется система отсчета, «связанная с неподвижными звездами», которая еще лучше приближает инерциальную — настолько, что удается заметить вращение Солнца вокруг центра Галактики.
Посмотрим, каков должен быть лагранжиан (11.2) согласно принципу относительности Галилея. Оказывается, нельзя требовать, чтобы лагранжиан оставался неизменным при преобразованиях Галилея (11.3) вместе с соответствующим преобразованием скорости
v0 = v − V. (11.4)
Приходится вспомнить, что добавление тривиального лагранжиана (10.35) не меняет уравнения движения. Таким образом, требование инвариантности законов движения свободной частицы относительно преобразований Галилея (11.3) дает лишь равенство
, (11.5)где v0 определяется формулой (11.4), а f — некоторая функция, которая может зависеть от векторного параметра V .
Для дальнейшего вывода достаточно рассмотреть преобразования Галилея с малой скоростью εV , где ε — малый параметр:
x0 = x − εV t, v0 = v − εV, t0 = t. (11.6)
Теперь подставим эти выражения в (11.5) и разложим `(v02) в ряд по степеням ε. В результате получим асимптотическую формулу с точностью до слагаемых порядка ε2:
`(v02) = `((v − εV )2) = `(v2 − 2εv · V + ε2V 2) = = `(v2) − 2`0(v2)εv · V + O(ε2), ε → 0.
Функцию f тоже представим в виде
f(x,t) = f0(x,t) + εf1(x,t) + ε2f2(x,t) + ....
Подставляя эти разложения в (11.5) и приравнивая члены порядка ε слева и справа, получаем
, (11.7)где
.Это равенство должно выполняться для любых x,v,t. Функция g может зависеть от вектора V . Полагая в (11.7) v = 0, получаем равенство
, так что g = g(x), не зависит от t. Равенство (11.7) приобретаетv · h`0(v2)V − gx(x)i = 0. (11.8)
Но лишь нулевой вектор может быть ортогонален к произвольному вектору v, поэтому
`0(v2)V = gx(x). (11.9)
Правая часть этого равенства не зависит от v, значит, не зависит и левая. Отсюда следует, что `0(v2) — постоянная. Ее принято обозначать через
.2
Таким образом,
. Отбрасывая несущественную постоянную, получаем окончательно лагранжиан свободной частицы
. (11.10)Соответственно, действие есть
(11.11)Из условия минимальности действия при t2, близких к t1, следует, что m > 0 (докажите это!).
Соответствующее уравнение движения, согласно принципу Гамильтона, получается в виде
mx¨ = 0. (11.12)
Выходит, что свободная частица в инерциальной системе отсчета двигается с постоянной скоростью v = v0, где v0 — ее скорость в начальный момент времени, соответственно, x(t) = x0 + tv0.
Системы частиц. Обобщенный II-й закон Ньютона
Пусть имеются две механические системы A и B, и их положения определяются соответственно обобщенными координатами qA ∈ DA ⊂ RnA и qB ∈ DB ⊂ RnB. Пусть их лагранжианы суть LA(qA,q˙A,t) и LB(qB,q˙B,t). Лагранжиан L = L(qA,qB,q˙A,q˙B,t) объединенной системы в классической механике считается равным
L = LA + LB + LAB(qA,qB,t). (11.13)
Добавочное слагаемое LAB называется лагранжианом взаимодействия или потенциалом взаимодействия, поскольку оно не зависит от скоростей q˙A, q˙B. Потенциал лишь знаком отличается от потенциальной энергии. Когда системы A и B не взаимодействуют, это слагаемое отсутствует.
Например, лагранжиан системы n взаимодействующих частиц представляется в виде
. (11.14)Здесь x1,x2,...,xn — положения частиц в R3, а v1,v2,...,vn — их скорости. Заметьте, что получилась система с 3n степенями свободы и фазовым пространством (R3)n ×(R3)n = R6n. Потенциальная энергия взаимодействия V должна быть задана. Особенно интересен и важен тот случай, когда ее можно представить в виде
V = X vjk(|xj − xk|). (11.15)
1≤j<k≤n
Здесь vjk — потенциальная энергия взаимодействия j-й и k-й частиц, которая зависит лишь от расстояния между ними. В этой сумме отсутствуют слагаемые, отвечающие j = k — это означает, что частица сама с собою не взаимодействует. Условие j < k принято потому, что слагаемые с j > k можно объединить с теми, для которых j < k; предполагается, что это уже сделано. Как видно, каждая пара частиц взаимодействует независимо от других — это так называемое парное взаимодействие, в принципе, возможны, конечно, и более сложные варианты. К рассматриваемому классу систем принадлежит, например, простейшая модель Солнечной системы, построенная впервые И.Ньютоном. Для нее потенциальная энергия взаимодействия пары частиц vjk имеет вид
. (11.16)Это потенциальная энергия, соответствующая закону всемирного тяготения Ньютона, f — постоянная тяготения. Замечу, что при rjk = 0 потенциальная энергия тяготения не определена, имеет сингулярность. Поэтому следует несколько изменить определение конфигурационного пространства, исключив из него все такие точки. Это становится существенным лишь в тех случаях, когда происходит столкновение частиц.